Физика фононов. Карпов С.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

В инертных атомах считают, что силы отталкивания очень быстро возрастают при
перекрывании атомных оболочек U
≈
A/r
12
, так что полный потенциал (Ленарда-
Джонса-Девонашира) ведет себя следующим образом
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
612
4)(
rr
rU
σσ
ε
Здесь 4
εσ
12
=A, a 4εσ
6
=C
Полная энергия взаимодействия всех атомов в кристалле может быть получена
суммированием U(r) по всем N частицам кристалла.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑∑∑∑
≠≠
−−
≠≠ jiji
ijij
jiji
ijij
tot
p
R
p
R
N
rr
NU
6
6
12
12
612
4
2
1
4
2
1
σσ
σ
σσ
σ
Коэффициент 1/2 появляется, поскольку в суммировании учитываются члены
взаимодействия i-го и j-го атомов и, кроме того, j-го и i-го. В каждой сумме
исключается член с одинаковыми значками i и j, т.е. исключаются члены
взаимодействия i-го атома с i-м. Расстояния r
ij
между любыми атомами i и j удобно
выразить через расстояния между ближайшими атомами R и геометрические факторы
решетки p
ij
, определяемые только типом кристаллической решетки, т.е. учесть, что
r
ij
=p
ij
R. Равенство в выражении для суммы как раз получено с учетом этого
соотношения. Вычисления, проделанные по этой формуле для гранецентрированной
кубической (ГЦК) структуры, показывают, что первая сумма в квадратных скобках
равна величине Σ`=12.13188, а вторая Σ`=14.45392. Поскольку в положении равновесия
производная от потенциальной энергии по координате (dU
tot
/dR)=0 при R=R
o
равна
нулю, то есть
,45392.14613188.121220
7
0
6
13
0
12
0
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅−==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
RR
N
dr
dU
RR
σσ
ε
расчетные значения параметров
R
0
/
σ
для ГЦК решетки будут (R
0
/
σ
)=1.09.
Эмпирические значения этого отношения для некоторых молекулярных кристаллов со
структурой ГЦК даны в табл.6, что показывает достаточно хорошее согласие теории с
экспериментом.

Страницы