Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Пра виль ны ми рас су ж де ния ми бу дут схе мы: (A É B, A)/B и
(A É B, ØB)/ØA.
12) Пусть да но ус лов ное вы ска зы ва ние A É B, где A — конъ юнк -
ция по сы лок, B — за клю че ние. Ино гда удоб нее до ка зы вать ис тин ность
не это го ус ло вия, а ус та но вить ло ги че скую ис тин ность дру го го вы ска -
зы ва ния, рав но силь но го ис ход но му. Та кие фор мы до ка за тельств на зы -
ва ют ся кос вен ны ми ме то да ми до ка за тель ст ва.
Од ним из них яв ля ет ся спо соб до ка за тель ст ва от про тив но го.
Пред по ло жим, что ут вер жде ние A É B лож но. То гда, ис хо дя из это го
пред по ло же ния, при хо дим к про ти во ре чию, то есть до ка зы ва ем, что не -
ко то рое ут вер жде ние (C) вы пол ня ет ся и не выполняется
(одновременно):
A É B = Ø(A B) É (C & ØC) = (A & ØB) É (C & ØC).
Су ще ст ву ют и дру гие схе мы до ка за тель ст ва от про тив но го:
A É B = (A &Ø B) É A.
A É B = (A &Ø B) É D.
A É B = ØB É ØA (за кон кон тра по зи ции ).
При мер. Про ве рить пра виль ность рас су ж де ния «Ес ли це ны вы -
со ки, то и за ра бот ная пла та вы со ка, це ны вы со ки или при ме ня ет ся
ре гу ли ро ва ние цен. Ес ли при ме ня ет ся ре гу ли ро ва ние цен, то нет ин -
фля ции. На блю да ет ся ин фля ция. Сле до ва тель но, за ра бот ная пла та
вы со ка».
Обо зна чим: A — це ны вы со ки, B — за ра бот ная пла та вы со ка, C —
при ме ня ет ся ре гу ли ро ва ние цен, D — на блю да ет ся инфляция.
За пи шем че ты ре по сыл ки и за клю че ние ка ж до го рас су ж де ния:
P A B
P A C
P C D
P D
B
1
2
3
4
= É
= Ú
= ÉØ
=
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
É
.
Ло ги че ская схе ма:
A B A C C D D
B
É Ú ÉØ, , ,
.
За да ча сво дит ся к про вер ке на то ж де ст вен ность ис тин ности
формулы:
F = ((A É B) & (A Ú C) & (C É ØD) & D) É B.
38
      Правильными рассуждениями будут схемы: (A É B, A)/B и
(A É B, ØB)/ØA.

      12) Пусть дано условное высказывание A É B, где A — конъюнк-
ция посылок, B — заключение. Иногда удобнее доказывать истинность
не этого условия, а установить логическую истинность другого выска-
зывания, равносильного исходному. Такие формы доказательств назы-
ваются косвенными методами доказательства.
      Одним из них является способ доказательства от противного.
Предположим, что утверждение A É B ложно. Тогда, исходя из этого
предположения, приходим к противоречию, то есть доказываем, что не-
которое утвержде ние (C) вы пол ня ет ся и не выполняется
(одновременно):
      A É B = Ø(A B) É (C & ØC) = (A & ØB) É (C & ØC).
      Существуют и другие схемы доказательства от противного:
      A É B = (A &Ø B) É A.
      A É B = (A &Ø B) É D.
      A É B = ØB É ØA (закон контрапозиции ).
      Пример. Проверить правильность рассуждения «Если цены вы-
соки, то и заработная плата высока, цены высоки или применяется
регулирование цен. Если применяется регулирование цен, то нет ин-
фляции. Наблюдается инфляция. Следовательно, заработная плата
высока».
      Обозначим: A — цены высоки, B — заработная плата высока, C —
применяется регулирование цен, D — наблюдается инфляция.
      Запишем четыре посылки и заключение каждого рассуждения:
                         P1 = A É B ü
                                     ï
                         P2 = A Ú C ï
                                     ý É B.
                         P3 = C É ØD ï
                         P4 = D      ïþ

                      A É B, A Ú C ,C É ØD,D
     Логическая схема:                       .
                                 B
     Задача сводится к проверке на тождественность истинности
формулы:

             F = ((A É B) & (A Ú C) & (C É ØD) & D) É B.
38

Страницы