Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1.2. Казанцев Э.Ф. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

9) A ~ B — тав то ло гия то гда и толь ко то гда, ко гда A и B рав но -
силь ны.
С точ ки зре ния ло ги ки тав то ло гия суть не что иное, как ло ги че -
ские за ко ны, ибо при лю бой под ста нов ке вме сто пе ре мен ных тав то ло -
гии кон крет ных вы ска зы ва ний в ре зуль та те по лу чим ис тин ные вы ска -
зы ва ния.
10) Ос нов ные тав то ло гии:
а) A Ú ØA (за кон ис клю че ния третье го или tertium nondatur);
б) A É A;
в) A É (B É A);
г) (A É B) É ((B É C) É (A É C)) (цеп ное рас су ж де ние);
д) (A É (B É C)) É ((A É B) É (A É C));
е) (A & B) É A; (A & B) É B;
ж) A É (B É (A & B);
з) A É (A Ú B); B É (A Ú B);
и) (Ø B ÉØ A) É ((Ø B É A) É B);
к) ((A É B) É A) É A (за кон Пир са).
До ка за тель ст во ка ж дой тав то ло гии мож но про вес ти, со ста вив
таб ли цу ис тин но сти при про из воль ных зна че ни ях A, B и C. При до ка за -
тель ст ве мы ис поль зу ем рас су ж де ния, ко то рые на языке логики можно
выразить формулами.
11) Рас су ж де ние на зы ва ет ся пра виль ным, ес ли из конъ юнк ции по -
сы лок сле ду ет за клю че ние, то есть вся кий раз, ко гда все по сыл ки ис тин -
ны, за клю че ние то же ис тин но: (P
1
& ... & P
n
) É Q.
Схе ма пра виль но го рас су ж де ния: (P
1
... P
n
)/Q — то есть из дан ных
по сы лок P
1
... P
n
сле ду ет за клю че ние Q.
При мер:
а) «Ес ли чис ло 5 про стое, то оно не чет ное. Пусть чис ло 5 не чет -
ное. Сле до ва тель но, оно про стое». За клю че ние ис тин но, но рас су ж де -
ние не пра виль ное. Это рас су ж де ние по схе ме: (A É B, B)/A; лег ко про ве -
рить, что фор му ла ((A É B) & B) É A не является тождественно-
истинной.
б) «Ес ли Петр за ни ма ет ся спор том, то Петр ни ко гда не бо ле ет.
Петр за ни ма ет ся спор том. Сле до ва тель но, Петр ни ко гда не бо ле ет». Это
рас су ж де ние по схе ме: (A É B, A)/B. Фор му ла ((A É B) & A) É B — то ж де -
ст вен но — ис тин но, значит рассуждение правильное.
37
      9) A ~ B — тавтология тогда и только тогда, когда A и B равно-
сильны.
      С точки зрения логики тавтология суть не что иное, как логиче-
ские законы, ибо при любой подстановке вместо переменных тавтоло-
гии конкретных высказываний в результате получим истинные выска-
зывания.

      10) Основные тавтологии:
      а) A Ú ØA (закон исключения третьего или tertium nondatur);
      б) A É A;
      в) A É (B É A);
      г) (A É B) É ((B É C) É (A É C)) (цепное рассуждение);
      д) (A É (B É C)) É ((A É B) É (A É C));
      е) (A & B) É A; (A & B) É B;
      ж) A É (B É (A & B);
      з) A É (A Ú B); B É (A Ú B);
      и) (Ø B ÉØ A) É ((Ø B É A) É B);
      к) ((A É B) É A) É A (закон Пирса).
      Доказательство каждой тавтологии можно провести, составив
таблицу истинности при произвольных значениях A, B и C. При доказа-
тельстве мы используем рассуждения, которые на языке логики можно
выразить формулами.

      11) Рассуждение называется правильным, если из конъюнкции по-
сылок следует заключение, то есть всякий раз, когда все посылки истин-
ны, заключение тоже истинно: (P1 & ... & Pn) É Q.
      Схема правильного рассуждения: (P1 ... Pn)/Q — то есть из данных
посылок P1 ... Pn следует заключение Q.
      Пример:
      а) «Если число 5 простое, то оно нечетное. Пусть число 5 нечет-
ное. Следовательно, оно простое». Заключение истинно, но рассужде-
ние неправильное. Это рассуждение по схеме: (A É B, B)/A; легко прове-
рить, что формула ((A É B) & B) É A не является тождественно-
истинной.
      б) «Если Петр занимается спортом, то Петр никогда не болеет.
Петр занимается спортом. Следовательно, Петр никогда не болеет». Это
рассуждение по схеме: (A É B, A)/B. Формула ((A É B) & A) É B — тожде-
ственно — истинно, значит рассуждение правильное.
                                                                   37

Страницы