Основы компьютерной графики: Часть 1. Математический аппарат компьютерной графики. Казанцев А.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ, часть 1 31
заметить, что двумерное представление точки с координатами
(
)
cba ,,
выглядит как ее проекция на плоскость 1
=
z , как показано на рис. 25.
Рис. 25. Проекция точки
(
)
cba ,, на плоскость 1=
z
.
Аналогично, рассматривая применение однородных координат для
векторов трехмерного пространства, можно представить трехмерное
пространство как проекцию четырехмерного пространства на гиперплоскость
1
=w , если
()( )
(
)
1,,,,,,,, zyxwwzwywxzyx
=
→ .
В однородных координатах преобразование центральной перспективы
можно определить матричной операцией. Эта матрица записывается в виде:
P
k
k
k
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
000
1000
000
000
Покажем, что эта матрица определяет преобразование точки объекта,
заданной в однородных координатах, в точку перспективной проекции (также
в однородных координатах). Пусть
(
)
zyxp ,,
=
– точка в трехмерном
пространстве. Ее однородное представление
(
)
wwzwywx ,,,v
=
. Умножим v
на P:
(
)
[]
(
)
(
)
[
]
1,0,/,/,0,,v kzkykzkxkzwwkywkxP +
+
=
+
=
- это в точности повторяет формулы (1), выведенные для центральной
перспективы. 
ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ, часть 1                                              31



заметить, что двумерное представление точки с координатами                   (a, b, c )
выглядит как ее проекция на плоскость z = 1 , как показано на рис. 25.




              Рис. 25. Проекция точки (a, b, c ) на плоскость z = 1 .

         Аналогично, рассматривая применение однородных координат для
векторов трехмерного пространства, можно представить трехмерное
пространство как проекцию четырехмерного пространства на гиперплоскость
w = 1 , если ( x, y, z ) → (wx, wy, wz , w) = ( x, y, z ,1) .
      В однородных координатах преобразование центральной перспективы
можно определить матричной операцией. Эта матрица записывается в виде:

                                    ⎡k   0 0 0⎤
                                    ⎢0   k 0 0⎥
                                    ⎢         ⎥=P
                                    ⎢0   0 0 1⎥
                                    ⎢         ⎥
                                    ⎣0   0 0 k⎦

      Покажем, что эта матрица определяет преобразование точки объекта,
заданной в однородных координатах, в точку перспективной проекции (также
в однородных координатах). Пусть p = ( x, y, z ) – точка в трехмерном
пространстве. Ее однородное представление v = (wx, wy, wz , w). Умножим v
на P:
                v P = [wkx, wky,0, w( z + k )] = [kx / ( z + k ), ky / ( z + k ),0,1]
- это в точности повторяет формулы (1), выведенные для центральной
перспективы.

Страницы