Основы компьютерной графики для программистов. Казанцев А.В. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Основы компьютерной графики для программистов 55
____________________________________________________________________________________________________________________
http://www.ksu.ru/persons/9134.ru.html
Рассмотрим форму Безье, которая отличается от формы Эрмита способом задания
граничных условий, а именно, вместо векторов
1
R
и
4
R
вводятся точки (и
соответствующие им радиус векторы)
2
P и
3
P , как показано на рис.43, такие что
выполняются условия:
()
(
)
121
'
30 PPRP −== и
(
)
(
)
344
'
31 PPRP −==
.
Переход от формы Эрмита к форме Безье осуществляется преобразованием:
bhbh
GM
P
P
P
P
R
R
P
P
G =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
4
1
4
1
3300
0033
1000
0001
, (*)
где
b
G - геометрический вектор Безье. Подставляя это в выражение для
()
tx
, получаем
()
()
(
)
(
)
4
3
3
2
2
2
1
3
13131 PtPttPttPtGMTMGTMtx
bxhbhhxh
+−+−+−===
.
Полезным свойством сплайнов в форме Безье является то что кривая всегда лежит
внутри выпуклой оболочки, образованной четырехугольником
(
)
4321
PPPP . Это свойство
можно доказать, пользуясь тем, что в выражении (*) коэффициенты принимают
значения от 0 до 1 и их сумма равна единице.
Рис. 42. Параметрический сплайн в форме Эрмита. Вытянутость
кривой вправо обеспечивается тем, что
41
RR > .
Рис. 23. Параметрический сплайн в форме Безье. 
Основы компьютерной графики для программистов                                                                  55
____________________________________________________________________________________________________________________




                         Рис. 42. Параметрический сплайн в форме Эрмита. Вытянутость
                                    кривой вправо обеспечивается тем, что R1 > R4 .


Рассмотрим форму Безье, которая отличается от формы Эрмита способом задания
граничных условий, а именно, вместо векторов R1 и R4 вводятся точки (и
соответствующие им радиус векторы) P2 и P3 , как показано на рис.43, такие что
выполняются условия: P ' (0) = R1 = 3(P2 − P1 ) и P ' (1) = R4 = 3(P4 − P3 ) .




                                         Рис. 23. Параметрический сплайн в форме Безье.


Переход от формы Эрмита к форме Безье осуществляется преобразованием:
                                        ⎡ P1 ⎤ ⎡ 1         0   0 0⎤ ⎡ P1 ⎤
                                        ⎢P ⎥ ⎢ 0           0 0 1⎥⎥ ⎢⎢ P2 ⎥⎥
                                   Gh = ⎢ 4 ⎥ = ⎢                           = M hb Gb ,   (*)
                                        ⎢ R1 ⎥ ⎢− 3        3 0 0⎥ ⎢ P3 ⎥
                                        ⎢ ⎥ ⎢                     ⎥⎢ ⎥
                                        ⎣ R4 ⎦ ⎣ 0         0 − 3 3⎦ ⎣ P4 ⎦

где Gb - геометрический вектор Безье. Подставляя это в выражение для x(t ) , получаем

                                                  (    )
x(t ) = TM hGhx = TM h M hbGbx = 1 − t 3 P1 + 3t (t − 1) P2 + 3t 2 (1 − t )P3 + t 3 P4 .
                                                                     2



Полезным свойством сплайнов в форме Безье является то что кривая всегда лежит
внутри выпуклой оболочки, образованной четырехугольником (P1 P2 P3 P4 ) . Это свойство
можно доказать, пользуясь тем, что в выражении (*) коэффициенты принимают
значения от 0 до 1 и их сумма равна единице.




http://www.ksu.ru/persons/9134.ru.html

Страницы