Составители:
Рубрика:
111 112
Пример 7.7. Кирпичный завод выпускает кирпичи двух ма-
рок (I и II). Для производства кирпича применяется глина трех
видов (A, В, С). По месячному плану завод должен выпустить
10 у.е. кирпича марки I и 15 у.е. кирпича марки II. В таблице ука-
заны расход различных видов глины для производства кирпича
каждой марки и месячный запас глины:
Количество глины, необходимой для
производства 1 у.е. кирпича вида
Марка
А В С
I 1 0 1
II 0 2 2
Запас глины 15 36 47
Сколько у.е. кирпича различных марок должен выпустить
завод сверх плана, чтобы обеспечить наибольшую прибыль, если
известно, что от реализации 1 у.е. кирпича марки I завод получит
прибыль, равную 4 у.е., а от реализации кирпича марки II – 7 у.е.?
Путем графического анализа данной задачи найти решение
двойственной к ней и оценить дефицитность исходных
ресурсов.
Решение. Составим математическую модель задачи. Обозна-
чим через х
1
– количество единиц кирпича марки I, выпущенных
сверх плана, а х
2
– марки II. Тогда выпуск кирпича марки I со-
ставляет (10+х
1
) единиц, марки II – (15+х
2
) единиц, а прибыль,
получаемая от реализации продукции, составит
у.е.)15(7)10(4
21
+++ xx
Цель – максимизировать прибыль, следовательно,
.xxZ max14574
21
→++
=
На выпуск продукции будет израсходовано соответственно:
С.видаглиныед.)15(2)10(1
Ввидаглиныед.)15(2
Авидаглиныед.)10(1
21
2
1
+⋅++⋅
+⋅
+
⋅
хх
,х
,x
Учитывая запасы глины различных видов на заводе, получа-
ем ограничения:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤+⋅++⋅
≤+⋅
≤+
.хх
,х
,х
47)15(2)10(1
36)15(2
1510
21
2
1
Из условия задачи следует, что
.х,х 00
21
≥≥
Итак, математическая модель исходной (прямой) задачи
имеет вид:
max14574
21
→
+
+
=
xxZ
при ограничениях:
.x,x
,xx
,x
,x
00
72
3
5
21
21
2
1
≥≥
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤+
≤
≤
Очевидно, что данная задача может быть решена геометриче-
ски (две переменные х
1
и х
2
). Решая задачу графически, нетрудно
убедиться, что оптимальным планом этой задачи является:
.Z,,X
Т*
172)15(
max
==
Итак, чтобы получить максимальную прибыль, завод должен
выпустить сверх плана 5 у.е. кирпича марки I и 1 у.е. кирпича
марки II.
Составим математическую модель двойственной задачи. По-
ставим в соответствие трем ограничениям-неравенствам прямой
задачи переменные:
.у,у,у 000
321
≥≥≥
Тогда математическая модель двойственной задачи примет
вид:
min145735
321
→
+
+
+
=
yyyW
при ограничениях:
⎩
⎨
⎧
≥+
≥+
,yy
,yy
72
4
32
31
.y,y,y 000
321
≥≥≥
Согласно первой теореме двойственности
.ZW 172
maxmin
=
=
Далее, используя вторую теорему двойственности, найдем
оптимальный план Y
*
=(у
1
*
, у
2
*
, у
3
*
) двойственной задачи, в кото-
ром у
1
*
, у
2
*
, у
3
*
являются оптимальными оценками ресурсов (гли-
Пример 7.7. Кирпичный завод выпускает кирпичи двух ма- х1 ≥ 0 , х2 ≥ 0.
рок (I и II). Для производства кирпича применяется глина трех Итак, математическая модель исходной (прямой) задачи
видов (A, В, С). По месячному плану завод должен выпустить имеет вид:
10 у.е. кирпича марки I и 15 у.е. кирпича марки II. В таблице ука-
Z = 4 x1 + 7 x2 + 145 → max
заны расход различных видов глины для производства кирпича
каждой марки и месячный запас глины: при ограничениях:
Количество глины, необходимой для ⎧ x1 ≤ 5 ,
Марка производства 1 у.е. кирпича вида ⎪
А В С ⎨ x2 ≤ 3 ,
I 1 0 1 ⎪x + 2 x ≤ 7,
II 0 2 2 ⎩ 1 2
Запас глины 15 36 47
Сколько у.е. кирпича различных марок должен выпустить x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0.
завод сверх плана, чтобы обеспечить наибольшую прибыль, если Очевидно, что данная задача может быть решена геометриче-
известно, что от реализации 1 у.е. кирпича марки I завод получит ски (две переменные х1 и х2). Решая задачу графически, нетрудно
прибыль, равную 4 у.е., а от реализации кирпича марки II – 7 у.е.? убедиться, что оптимальным планом этой задачи является:
Путем графического анализа данной задачи найти решение X * = (5,1)Т , Z max = 172.
двойственной к ней и оценить дефицитность исходных ресурсов. Итак, чтобы получить максимальную прибыль, завод должен
Решение. Составим математическую модель задачи. Обозна- выпустить сверх плана 5 у.е. кирпича марки I и 1 у.е. кирпича
чим через х1 – количество единиц кирпича марки I, выпущенных марки II.
сверх плана, а х2 – марки II. Тогда выпуск кирпича марки I со- Составим математическую модель двойственной задачи. По-
ставляет (10+х1) единиц, марки II – (15+х2) единиц, а прибыль, ставим в соответствие трем ограничениям-неравенствам прямой
получаемая от реализации продукции, составит задачи переменные:
4( x1 + 10) + 7( x2 + 15) у.е. у1 ≥ 0, у2 ≥ 0, у3 ≥ 0.
Цель – максимизировать прибыль, следовательно, Тогда математическая модель двойственной задачи примет
Z = 4 x1 + 7 x2 + 145 → max. вид:
На выпуск продукции будет израсходовано соответственно: W = 5 y1 + 3 y2 + 7 y3 + 145 → min
1 ⋅ ( x1 + 10 ) ед. глины вида А , при ограничениях:
2 ⋅ ( х 2 + 15 ) ед. глины вида В , ⎧ y1 + y3 ≥ 4 ,
1 ⋅ (10 + х1 ) + 2 ⋅ ( х 2 + 15 ) ед. глины вида С. ⎨
⎩ y2 + 2 y3 ≥ 7 ,
Учитывая запасы глины различных видов на заводе, получа-
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
ем ограничения:
Согласно первой теореме двойственности
⎧10 + х1 ≤ 15 ,
⎪ Wmin = Z max = 172.
⎨ 2 ⋅ ( х2 + 15) ≤ 36 ,
⎪ 1 ⋅ ( х + 10 ) + 2 ⋅ ( х + 15) ≤ 47 . Далее, используя вторую теорему двойственности, найдем
⎩ 1 2 оптимальный план Y*=(у1*, у2*, у3*) двойственной задачи, в кото-
Из условия задачи следует, что ром у1*, у2*, у3*являются оптимальными оценками ресурсов (гли-
111 112
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
