Математика (Статистика, корреляция и регрессия). Кислов К.К. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим задачу определения одной случайной величины Y по данным
значений другой, т.е. задачу оценивания значения ненаблюдаемой случайной
величины Y по данному значению
x
.
Пусть
)(
^^
xyy
=
(игрек с «крышкой») – оценка значения величины
y
при
данных
x
. Ошибка этой оценки
Yy
−
^
представляет собой случайную величину.
Точность оценки
^
y
целесообразно характеризовать средним квадратом ошибки
при данном значении
x
:
]/))(([)(
2
^
xYxyMx
−=
ε
.
Средний квадрат ошибки
^
y
будет минимальным, если принять за
^
y
математическое ожидание случайной величины Y при данном
x
:
]/[)(
^
xYMxy
=
.
Зависимость оценки
^
y
величины Y от
x
в этом случае представляет собой
регрессию Y на X.
Таким образом, оптимальной оценкой зависимости Y от
x
служит
регрессия Y на
x
.
Для нормального закона распределения вероятностей системы (X,Y)
оптимальным прогнозом величины Y по данным значений
x
будет прогноз по регрессии
,
где
yxxxyy
mymxrrSS
≈≈≈≈≈
−−
;,;;
σσ
- оценки соответствующих параметров
распределения.
Оценивание по теоретической регрессии возможно только в том случае,
когда теоретическая регрессия известна. Если она неизвестна или определяемая
ею зависимость слишком сложна для практической реализации, то приходится
искать оценку зависимости случайной величины Y от Х в некотором
8
                                                                  8
      Рассмотрим задачу определения одной случайной величины Y по данным
значений другой, т.е. задачу оценивания значения ненаблюдаемой случайной
величины Y по данному значению x .

      Пусть y = y( x ) (игрек с «крышкой») – оценка значения величины y
            ^   ^
                                                                                              при


данных x . Ошибка этой оценки ^y− Y представляет собой случайную величину.

                         ^
Точность оценки y целесообразно характеризовать средним квадратом ошибки

при данном значении x :
                                                              ^
                                         ε ( x ) = M [( y( x ) − Y ) 2 / x ] .
                                                     ^                                         ^
      Средний квадрат ошибки y будет минимальным, если принять за y

математическое ожидание случайной величины Y при данном x :
                                                          ^
                                                          y( x ) = M [Y / x ] .
                               ^
Зависимость оценки y величины Y от x в этом случае представляет собой

регрессию Y на X.
      Таким образом, оптимальной оценкой зависимости                              Y от x служит
регрессия Y на x .
      Для нормального закона распределения вероятностей системы (X,Y)
оптимальным прогнозом величины Y по данным значений x будет прогноз по регрессии

                                            ^    −       Su     −  − S   −
                                                                         x ,
                                                                       y
                                            y= r            x + y− r
                                                         Sx          Sx

                                   −         −
где   S y ≈ σ y ; S x ≈ σ x ; r ≈ r, x ≈ mx ; y ≈ m y         - оценки соответствующих параметров

распределения.
      Оценивание по теоретической регрессии возможно только в том случае,
когда теоретическая регрессия известна. Если она неизвестна или определяемая
ею зависимость слишком сложна для практической реализации, то приходится
искать оценку зависимости случайной величины Y от Х в некотором

Страницы