Математика (Статистика, корреляция и регрессия). Кислов К.К. - 7 стр.

                                                                7

        Аналогично, M [ X / y ] = ψ ( y ) называется регрессией случайной величины X
на Y.
        На       практике         наиболее        часто                встречаются                          системы         (X,Y)   закон
распределения которых является нормальным. Этот закон имеет вид:
                                                                                                      Q( x, y )
                                                                            1                     −
                                        f ( x, y) =                                       ⋅e             2
                                                                                                                  ,
                                                        2π σ xσ             y   1− r2

                        1 ( x − m x )2      ( x − m x )( y − m y ) ( y − m y ) 2
где      Q( x , y ) =       [          − 2r                       +              ];
                      1− r2    σ x2                σ xσ y               σ 2y

        mx , m y      -       математические       ожидания                          случайных                        величин   X   и   Y
соответственно;
        σ x ,σ   y   - средние квадратические отклонения величин X и Y;
        r - коэффициент корреляции.
        Путем преобразования нормального закона распределения можно показать,
что теоретическая линия регрессии величин Y на X является уравнение прямой,
                                                      σ    y                          σ   y
                                    M [ X / y] = r              x + my − r                    mx ,
                                                      σ    x                          σ   x


а среднее квадратическое отклонение условного распределения
                                              σ   Y/x     = σ      y       1− r2 .

        Аналогично, регрессия X на Y является прямой
                                                               σ                              σ
                                        M [ X / y] = r                 x
                                                                           y + mx − r                 x
                                                                                                          my .
                                                               σ       y                      σ       y




                 2. Выборочное уравнение регрессии. Статическая обработка
                                                           наблюдений
        Пусть над случайными величинами X и Y проделано n независимых
наблюдений,               в    результате     которых                           получены                              n   пар   значений:
( x1 , y1 , ( x 2 . y 2 )...( x n , y n ) . Эта совокупность значений называется выборкой из

генеральной совокупности.