Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.29 Ответ
cos
n
ϑ =
½
2
1−n
P
m
k=0
C
k
n
cos(n − 2k)ϑ, n = 2m + 1,
2
1−n
P
m−1
k=0
C
k
n
cos(n − 2k)ϑ, n = 2m,
sin
n
ϑ =
½
2
1−n
P
m
k=0
(−1)
m−k
C
k
n
sin(n − 2k)ϑ, n = 2m + 1,
2
1−n
P
m−1
k=0
(−1)
m−k
C
k
n
cos(n − 2k)ϑ + 2
−n
C
m
n
, n = 2m.
Указание. Воспользоваться определением функций sin ϑ, cos ϑ и фор-
мулой бинома Ньютона.
1.30 1) 2
−8
(
1
8
sin 8ϑ +
4
3
sin 6ϑ + 14 sin 4ϑ + 56 sin 2ϑ + 35ϑ) + c;
2) 2
−8
(
1
8
sin 8ϑ −
4
3
sin 6ϑ + 14 sin 4ϑ − 56 sin 2ϑ + 35ϑ) + c.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
1.31 1) S
1
= (a
n+1
cos(n−1)ϑ−a
n
cos nϑ−a cos ϑ+1)/(a
2
−2a cos ϑ+1);
S
2
= (a
n+1
sin(n − 1)ϑ − a
n
sin nϑ + a sin ϑ)/(a
2
− 2a cos ϑ + 1).
Указание. Учесть, что S
1
+ i S
2
=
P
n−1
k=0
(ae
i ϑ
)
k
-сумма n членов геомет-
рической прогрессии;
2)S
1
= sin nϑ/[sin ϑ cos
n−1
ϑ], S
2
= ctg ϑ − cos nϑ/[sin ϑ cos
n−1
ϑ].
Указание. Применить результат 1) при a = 1/ cos ϑ;
3) S
1,2
= (A ± B)/2, A = 3n/4 + sin 2nϑ cos 2(n − 1)ϑ/4 sin 2ϑ, B =
sin nϑ cos(n − 1)ϑ/ sin ϑ.
Указание. Использовать формулы удвоения и результат пункта 1).
1.32 1) S
1
= (2 cos(ϑ/2))
n
cos nϑ/2, S
2
= (2 cos(ϑ/2))
n
sin(nϑ/2).
Решение. S
1
+ i S
2
=
P
n
k=0
C
k
n
e
i kϑ
= (1 + e
i ϑ
)
n
= 2
n
e
i nϑ/2
cos
n
(ϑ/2) =
(2 cos(ϑ/2))
n
(cos(nϑ/2) + i sin(nϑ/2)). Сравнивая действительные и мни-
мые части, получаем требуемое;
2) S
1
= ( n cos(n−1)ϑ−(n− 1) cos nϑ−1)/[2(1−cos ϑ)], S
2
= (n sin(n−1)ϑ−
(n−1) sin nϑ)/[2(1 − cos ϑ)].
Указание. Учесть, что S
1
=
¡
P
n−1
k=1
sin kϑ
¢
0
, S
2
= (−
P
n−1
k=0
cos kϑ)
0
, и
воспользоваться результатом задачи 1.31 1).
1.33 1) n2
1−n
; 2)
√
n 2
1−n
; 3)
√
2n + 1 2
−n
.
Решение. 1) Так как числа z
k
= e
2πki /n
, k = 0, n − 1, образуют полную
совокупность нулей уравнения z
n
−1 = 0, то z
n
−1 =
Q
n−1
k=0
(z−z
k
) ⇒ 1+z+
···+ z
n−1
=
Q
n−1
k=1
(z −z
k
). Полагая в последнем равенстве z = 1, получим
n =
Q
n−1
k=1
(1 − e
2πki /n
) =
Q
n−1
k=1
|1 − e
2πki /n
| =
Q
n−1
k=1
|e
πki /n
||e
−πki /n
− e
πki /n
|
=
Q
n−1
k=1
2|sin(πk/n)| = 2
n−1
Q
n−1
k=1
sin(πk/n). В случаях 2), 3) применить
результат пункта 1) при n = 2 m, n = 2m + 1 и равенство sin(πk/n) =
sin π(n − k)/n).
12
    1.29 Ответ
                       ½        P
                n          21−n m     k
                                 k=0 Cn cos(n − 2k)ϑ, n = 2m + 1,
            cos ϑ =         1−n
                                Pm−1 k
                           2     k=0 Cn cos(n − 2k)ϑ,    n = 2m,
            ½        P
     n          21−n m k=0 (−1)
                               m−k k
                                   Cn sin(n − 2k)ϑ,         n = 2m + 1,
  sin ϑ =        1−n
                     P m−1      m−k k                 −n m
                2      k=0 (−1)    Cn cos(n − 2k)ϑ + 2 Cn ,    n = 2m.
Указание. Воспользоваться определением функций sin ϑ, cos ϑ и фор-
мулой бинома Ньютона.
      1.30 1) 2−8 ( 18 sin 8ϑ + 43 sin 6ϑ + 14 sin 4ϑ + 56 sin 2ϑ + 35ϑ) + c;
2) 2−8 ( 18 sin 8ϑ − 43 sin 6ϑ + 14 sin 4ϑ − 56 sin 2ϑ + 35ϑ) + c.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
      1.31 1) S1 = (an+1 cos(n−1)ϑ−an cos nϑ−a cos ϑ+1)/(a2 −2a cos ϑ+1);
S2 = (an+1 sin(n − 1)ϑ − an sin nϑ + aP          sin ϑ)/(a2 − 2a cos ϑ + 1).
Указание. Учесть, что S1 + i S2 = n−1                      iϑ k
                                                   k=0 (ae ) -сумма n членов геомет-
рической прогрессии;
2)S1 = sin nϑ/[sin ϑ cosn−1 ϑ], S2 = ctg ϑ − cos nϑ/[sin ϑ cosn−1 ϑ].
Указание. Применить результат 1) при a = 1/ cos ϑ;
3) S1,2 = (A ± B)/2, A = 3n/4 + sin 2nϑ cos 2(n − 1)ϑ/4 sin 2ϑ, B =
sin nϑ cos(n − 1)ϑ/ sin ϑ.
Указание. Использовать формулы удвоения и результат пункта 1).
                                     n
      1.32 1) S1 = (2 cos(ϑ/2)) Pn cosk nϑ/2,       S2 = (2 cos(ϑ/2))n sin(nϑ/2).
                                            i kϑ
Решение. S1 + i S2 =               k=0 Cn e       = (1 + ei ϑ )n = 2n ei nϑ/2 cosn (ϑ/2) =
                n
(2 cos(ϑ/2)) (cos(nϑ/2) + i sin(nϑ/2)). Сравнивая действительные и мни-
мые части, получаем требуемое;
2) S1 = (n cos(n−1)ϑ−(n− 1) cos nϑ−1)/[2(1−cos ϑ)], S2 = (n sin(n−1)ϑ−
(n−1) sin nϑ)/[2(1 − cos ϑ)].
                                          ¡Pn−1            ¢0            Pn−1          0
Указание. Учесть, что S1 =                      k=1 sin kϑ , S2 = (−        k=0 cos kϑ) , и
воспользоваться результатом   √ 1−n задачи      √ 1.31 1). −n
                  1−n
      1.33 1) n2 ; 2) n 2 ; 3) 2n + 1 2 .
Решение. 1) Так как числа zk = e2πki /n , k = 0, n −Q1, образуют полную
совокупность     Qнулей уравнения z n −1 = 0, то z n −1 = n−1        k=0 (z−zk ) ⇒ 1+z+
· · · +Qz n−1 = n−1k=1  (z − z  ).
                               k Q Полагая     в последнем  Qn−1 πki /n z−πki
                                                               равенстве    = 1, получим
          n−1       2πki /n         n−1         2πki /n                        /n
n=   Qn−1 k=1 (1 − e        ) = k=1   Q |1 − e          | = k=1 |e     ||e        − eπki /n |
                                        n−1
= k=1 2| sin(πk/n)| = 2n−1 k=1 sin(πk/n). В случаях 2), 3) применить
результат пункта 1) при n = 2m, n = 2m + 1 и равенство sin(πk/n) =
sin π(n − k)/n).


                                             12

Страницы