Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

общей степенной функции, значение которой в точке z = i совпадает со
значением правой части; 2) (ln 2 + 2πm + 2πki )/(π/2 + 2πk), m, k ∈ Z.
Ветви многозначных функций в обеих частях уравнения фиксируются
условием Ln 1 = 2πk i .
Указание. Воспользоваться определением общей показательной и об-
щей степенной функции. Учесть периодичность показательной функции.
1.44 1) e
−2πk
, k ∈ Z; 2) e
−(π+2πk)
, k ∈ Z; 3)
√
2[cos(π/4 − ln
√
2) +
i sin(π/4 − ln
√
2)]e
π/4+2πk
, k ∈ Z.
1.45 1) 2πk ±i ln(2 +
√
3), k ∈ Z; 2) π(2k + 1) ±i ln(2 +
√
3), k ∈ Z; 3)
π(2k + 1/2) ± i ln(2 +
√
3), k ∈ Z; 4) π(2k − 1/2) ± i ln(2 +
√
3), k ∈ Z.
1.46 Указание. 1) Учесть, что t
−1
k
(z) = (d
k
z − b
k
)/(−c
k
z + a
k
) =
(δ
−1
d
k
z −δ
−1
b
k
)/(−δ
−1
c
k
z + δ
−1
a
k
), где δ = a
k
d
k
−b
k
c
k
. 2) Провести соот-
ветствующие вычисления.
2. Геометрия комплексной плоскости
Путем γ в (C) (в C)называется непрерывное отображение z = z(t) от-
резка [α, β] ∈ R в C ( или C ). Точки a = z(α), b = z(β) называются
концами пути (если α < β, то a – началом, b – концом). Путь называ-
ется замкнутым, если z(α ) = z(β). Два пути γ
1
: z = z
1
(t), t ∈ [α
1
, β
1
] и
γ
2
: z = z
2
(t), t ∈ [α
2
, β
2
] называются эквивалентными, если существует
непрерывная возрастающая функция τ = τ(t), отображающая [α
1
, β
1
] на
[α
2
, β
2
], такая, что z
1
(t) = z
2
(τ(t)), ∀t ∈ [α
1
, β
1
].
Кривой называется класс эквивалентных путей, т.е. ориентирован-
ный образ отрезка [α, β] при каком-либо непрерывном отображении
z = z(t) (здесь z(t) определяет произвольный путь из выбранного клас-
са эквивалентности). Непрерывные кривые без точек самопересечения
называются простыми или кривыми Жордана.
int γ (out γ) – внутренность (внешность) простой замкнутой кривой
γ.
Областью D в C ( или C ) называется множество точек открытое и
связное в C (C). Обход границы ∂D = D/D области D, при котором
область остается слева, называется положительным.
Тройка чисел {z
1
, z
2
, z
3
} называется положительно ориентированной,
если они следуют друг за другом в указанном порядке при положитель-
ном обходе границы треугольника с вершинами в этих точках.
Для того, чтобы успешно справиться с задачами этого параграфа,
14
общей степенной функции, значение которой в точке z = i совпадает со
значением правой части; 2) (ln 2 + 2πm + 2πki )/(π/2 + 2πk), m, k ∈ Z.
Ветви многозначных функций в обеих частях уравнения фиксируются
условием Ln 1 = 2πki .
Указание. Воспользоваться определением общей показательной и об-
щей степенной функции. Учесть периодичность показательной       √              функции.
                                                                                   √
    1.44 1) e−2πk √    , k ∈   Z;   2) e−(π+2πk)
                                                  , k ∈  Z;  3)    2[cos(π/4  −  ln 2) +
i sin(π/4 − ln 2)]eπ/4+2πk√       , k ∈ Z.                                  √
    1.45 1) 2πk ± i ln(2√+ 3), k ∈ Z; 2) π(2k + 1) ± i ln(2 +√ 3), k ∈ Z; 3)
π(2k + 1/2) ± i ln(2 + 3), k ∈ Z; 4) π(2k − 1/2) ± i ln(2 + 3), k ∈ Z.
    1.46 Указание. 1) Учесть, что t−1              k (z) = (dk z − bk )/(−ck z + ak ) =
(δ −1 dk z − δ −1 bk )/(−δ −1 ck z + δ −1 ak ), где δ = ak dk − bk ck . 2) Провести соот-
ветствующие вычисления.


2.      Геометрия комплексной плоскости
Путем γ в (C) (в C)называется непрерывное отображение z = z(t) от-
резка [α, β] ∈ R в C ( или C ). Точки a = z(α), b = z(β) называются
концами пути (если α < β, то a – началом, b – концом). Путь называ-
ется замкнутым, если z(α) = z(β). Два пути γ1 : z = z1 (t), t ∈ [α1 , β1 ] и
γ2 : z = z2 (t), t ∈ [α2 , β2 ] называются эквивалентными, если существует
непрерывная возрастающая функция τ = τ (t), отображающая [α1 , β1 ] на
[α2 , β2 ], такая, что z1 (t) = z2 (τ (t)), ∀t ∈ [α1 , β1 ].
     Кривой называется класс эквивалентных путей, т.е. ориентирован-
ный образ отрезка [α, β] при каком-либо непрерывном отображении
z = z(t) (здесь z(t) определяет произвольный путь из выбранного клас-
са эквивалентности). Непрерывные кривые без точек самопересечения
называются простыми или кривыми Жордана.
     int γ (out γ) – внутренность (внешность) простой замкнутой кривой
γ.
     Областью D в C ( или C ) называется множество точек открытое и
связное в C (C). Обход границы ∂D = D/D области D, при котором
область остается слева, называется положительным.
     Тройка чисел {z1 , z2 , z3 } называется положительно ориентированной,
если они следуют друг за другом в указанном порядке при положитель-
ном обходе границы треугольника с вершинами в этих точках.
     Для того, чтобы успешно справиться с задачами этого параграфа,


                                           14

Страницы