Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

необходимо умелое сочетание аналитических методов решения с четким
представлением геометрической картины поставленной задачи. Наибо-
лее типичными здесь являются задачи на геометрические места точек
(г.м.т.), причем, как раз в этих задачах применение одних лишь анали-
тических методов может сильно усложнить решение.
2.1 Найти следующие г.м.т. (z
0
, a, b ∈ C):
1) |z − z
0
| = r; 2) |z −z
0
| > r; 3) |z − z
0
| ≤ r; 4) r < |z −z
0
| < R;
5) |z − a| + |z − b| = r; 6) ||z − a| − |z − b|| = r.
2.2 Определить при m ∈ Z, α ∈ R, a, b ∈ C пути, заданные следую-
щими отображениями: 1) z = 1 +2e
i t
, 0 ≤ t < 2π; 2) z = a cos t, 0 ≤ t ≤ π;
3) z = a + te
i α
, −∞ < t < ∞; 4) z = a + (b − a) sin t, 0 ≤ t ≤ π/2;
5) z = αe
i t
+ 1/αe
i t
, 0 ≤ t < 2π (α 6= 0); 6) z = t
n
+ i /t
n
, −∞ < t < ∞
(n 6= 0); 7) z = e
i t
cos t, 0 ≤ t < π; 8) z = e
i t
sin t, 0 ≤ t < π.
2.3 Определить г.м.т. (a, b ∈ C):
1) Im {(b − bz)/(1 − z)} = 0 (Im b 6= 0); 2) |z|e
i arg a
− |a|e
i arg z
= a − z.
2.4 Определить г.м.т. (α ∈ R; a, b ∈ C):
1) arg(z −a) = α, (−π < α ≤ π); 2) arg(z −a) = arg(b −a); 3) arg(z −a) =
arg(a − b); 4) arg(z − a) = arg(z − b).
2.5 Определить г.м.т. (α, β ∈ R; a, b ∈ C):
1) arg[(z − a)/(z − b)] = α; 2)arg(z − a) − arg(z − b) = β; 3) arg(z + a) =
arg z + arg a.
2.6 Определить г.м.т. (a ∈ C): 2 arg(z + a) = arg z + arg a.
2.7 Доказать, что уравнение Azz + Bz + Bz +C = 0, A, C ∈ R; B ∈ C;
A > 0, |B|
2
− AC > 0 является уравнением окружности. Найти ее центр
z
0
и радиус r.
2.8 Показать, что уравнение Bz + Bz + C = 0, C ∈ R, B ∈ C (B 6= 0)
является уравнением прямой. Начертить эту прямую.
2.9 Записать в комплексной форме уравнение пучка прямых, прохо-
дящих через фиксированную точку z
0
.
2.10 Определить угол между двумя прямыми, заданными в ком-
плексной форме.
2.11 Получить условие ортогональности и параллельности двух пря-
мых, заданных в комплексной форме.
2.12 Записать уравнение прямой, проходящей через точку z
0
и пер-
пендикулярную прямой Re {Bz} + D = 0.
15
необходимо умелое сочетание аналитических методов решения с четким
представлением геометрической картины поставленной задачи. Наибо-
лее типичными здесь являются задачи на геометрические места точек
(г.м.т.), причем, как раз в этих задачах применение одних лишь анали-
тических методов может сильно усложнить решение.



    2.1 Найти следующие г.м.т. (z0 , a, b ∈ C):
1) |z − z0 | = r; 2) |z − z0 | > r; 3) |z − z0 | ≤ r; 4) r < |z − z0 | < R;
5) |z − a| + |z − b| = r; 6) | |z − a| − |z − b| | = r.
    2.2 Определить при m ∈ Z, α ∈ R, a, b ∈ C пути, заданные следую-
щими отображениями: 1) z = 1 + 2ei t , 0 ≤ t < 2π; 2) z = a cos t, 0 ≤ t ≤ π;
3) z = a + tei α , −∞ < t < ∞; 4) z = a + (b − a) sin t, 0 ≤ t ≤ π/2;
5) z = αei t + 1/αei t , 0 ≤ t < 2π (α 6= 0); 6) z = tn + i /tn , −∞ < t < ∞
(n 6= 0); 7) z = ei t cos t, 0 ≤ t < π; 8) z = ei t sin t, 0 ≤ t < π.
    2.3 Определить г.м.т. (a, b ∈ C):
1) Im {(b − bz)/(1 − z)} = 0 (Im b 6= 0); 2) |z|ei arg a − |a|ei arg z = a − z.
    2.4 Определить г.м.т. (α ∈ R; a, b ∈ C):
1) arg(z − a) = α, (−π < α ≤ π); 2) arg(z − a) = arg(b − a); 3) arg(z − a) =
arg(a − b); 4) arg(z − a) = arg(z − b).
    2.5 Определить г.м.т. (α, β ∈ R; a, b ∈ C):
1) arg[(z − a)/(z − b)] = α; 2)arg(z − a) − arg(z − b) = β; 3) arg(z + a) =
arg z + arg a.
    2.6 Определить г.м.т. (a ∈ C): 2 arg(z + a) = arg z + arg a.
    2.7 Доказать, что уравнение Azz + Bz + Bz + C = 0, A, C ∈ R; B ∈ C;
A > 0, |B|2 − AC > 0 является уравнением окружности. Найти ее центр
z0 и радиус r.
    2.8 Показать, что уравнение Bz + Bz + C = 0, C ∈ R, B ∈ C (B 6= 0)
является уравнением прямой. Начертить эту прямую.
    2.9 Записать в комплексной форме уравнение пучка прямых, прохо-
дящих через фиксированную точку z0 .
    2.10 Определить угол между двумя прямыми, заданными в ком-
плексной форме.
    2.11 Получить условие ортогональности и параллельности двух пря-
мых, заданных в комплексной форме.
    2.12 Записать уравнение прямой, проходящей через точку z0 и пер-
пендикулярную прямой Re {Bz} + D = 0.

                                      15

Страницы