Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.13 Начертить прямую, проходящую через точку i и ортогональную
прямой Re {(1 + i )z} + 1 = 0.
2.14 Записать уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки z
0
, z
1
.
2.15 Записать уравнение прямой, проходящей через точку z
0
перпен-
дикулярно радиусу-вектору этой точки.
2.16 Записать уравнение прямой, проходящей через точку z
0
, 1) пер-
пендикулярную прямой, соединяющей точки z
1
и z
2
; 2) параллельную
указанной прямой.
2.17 Записать уравнения прямых, определенных в задаче 1.6.
2.18 Определить г.м.т. пересечения прямых семейства Re {e
−i α
z} = 1,
0 ≤ α < 2π с соответствующим семейством нормалей (т.е. с пучком пря-
мых с центром в точке z = 0, ортогональных соответствующим прямым
данного семейства).
2.19 Определить г.м.т. пересечения прямых семейства
1) Re {e
−i α
z} = cos α, 0 ≤ α < π; 2)Re {e
−i α
z} = sin α, 0 ≤ α < π
с соответствующим семейством нормалей.
2.20 1) Доказать, что площадь треугольника z
1
, z
2
, z
3
равна
|Im {(z
1
−z
2
)(z
1
−z
1
)}|/2. 2) Выяснить геометрический смысл выражения
Im {(z
1
− z
2
)(z
1
− z
3
)}.
2.21 Определить г.м.т. (a ∈ C):
1) |Im {az}| = |a||z|; 2) Im {az} = |a||z|.
2.22 Доказать, что три попарно различные точки z
1
, z
2
, z
3
лежат на
одной прямой ⇔ выполняется одно из следующих равносильных усло-
вий: 1) Im {(z
1
− z
2
)/(z
1
− z
3
)} = 0 ;
2) Im {(z
1
− z
2
)(z
1
− z
3
)} = 0; 3)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
z
1
z
2
z
3
z
1
z
2
z
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0.
2.23 Доказать, что условие параллельности двух прямых, проходящих
через точки z
1
, z
2
и z
3
, z
4
соответственно, равносильно выполнению од-
ного из следующих условий: 1) Im {(z
1
− z
2
)/(z
3
− z
4
)} = 0 ;
2) Im {(z
1
− z
2
)(z
3
− z
4
)} = 0; 3)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
z
2
− z
3
z
1
− z
3
z
1
− z
4
z
2
− z
3
z
1
− z
3
z
1
− z
4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0.
Записать соответствующие условия ортогональности указанных прямых.
16
    2.13 Начертить прямую, проходящую через точку i и ортогональную
прямой Re {(1 + i )z} + 1 = 0.
    2.14 Записать уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки z0 , z1 .
    2.15 Записать уравнение прямой, проходящей через точку z0 перпен-
дикулярно радиусу-вектору этой точки.
    2.16 Записать уравнение прямой, проходящей через точку z0 , 1) пер-
пендикулярную прямой, соединяющей точки z1 и z2 ; 2) параллельную
указанной прямой.
    2.17 Записать уравнения прямых, определенных в задаче 1.6.
    2.18 Определить г.м.т. пересечения прямых семейства Re {e−i α z} = 1,
0 ≤ α < 2π с соответствующим семейством нормалей (т.е. с пучком пря-
мых с центром в точке z = 0, ортогональных соответствующим прямым
данного семейства).
    2.19 Определить г.м.т. пересечения прямых семейства
1) Re {e−i α z} = cos α, 0 ≤ α < π; 2)Re {e−i α z} = sin α, 0 ≤ α < π
с соответствующим семейством нормалей.
    2.20 1) Доказать, что площадь треугольника z1 , z2 , z3 равна
|Im {(z1 −z2 )(z1 −z1 )}|/2. 2) Выяснить геометрический смысл выражения
Im {(z1 − z2 )(z1 − z3 )}.
    2.21 Определить г.м.т. (a ∈ C):
1) |Im {az}| = |a||z|; 2) Im {az} = |a||z|.
    2.22 Доказать, что три попарно различные точки z1 , z2 , z3 лежат на
одной прямой ⇔ выполняется одно из следующих равносильных усло-
вий: 1) Im {(z1 − z2 )/(z1 − z3 )} = 0;
                                                  ¯           ¯
                                                  ¯ 1 1 1 ¯
                                                  ¯           ¯
            2) Im {(z1 − z2 )(z1 − z3 )} = 0; 3) ¯¯ z1 z2 z3 ¯¯ = 0.
                                                  ¯ z1 z2 z3 ¯

2.23 Доказать, что условие параллельности двух прямых, проходящих
через точки z1 , z2 и z3 , z4 соответственно, равносильно выполнению од-
ного из следующих условий: 1) Im {(z1 − z2 )/(z3 − z4 )} = 0;
                                         ¯                          ¯
                                         ¯    1       1       1     ¯
                                         ¯                          ¯
   2) Im {(z1 − z2 )(z3 − z4 )} = 0; 3) ¯¯ z2 − z3 z1 − z3 z1 − z4 ¯¯ = 0.
                                         ¯ z2 − z3 z1 − z3 z1 − z4 ¯

Записать соответствующие условия ортогональности указанных прямых.

                                   16

Страницы