Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

прямых. Найти эти прямые. Выяснить геометрический смысл преобра-
зования.
2.39 Показать, что преобразование w = a/z (a ∈ C) представимо в
виде композиции двух симметрий относительно окружности с центром
в z = 0 и прямой, проходящей через z = 0. Найти эти окружность и
прямую.
2.40 Показать, что произвольное дробно-линейное преобразование
w = (az + b)/(cz + d) (a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0) представимо в виде
суперпозиции четного числа преобразований симметрии.
2.41 Доказать, что уравнение |(z − z
1
)/(z − z
2
)| = k при k > 0 и
k 6= 1 является уравнением окружности, найти ее центр z
0
и радиус r.
Показать, что точки z
1
и z
2
симметричны относительно этой окружности.
Рассмотреть случай k = 1.
2.42 Определить г.м.т. |(z −2)/(2z −1)| ≤ 1.
2.43 Записать уравнение окружности, проходящей через три задан-
ные точки z
1
, z
2
, z
3
.
2.44 Даны две окружности |z − z
01
| = r
1
, |z − z
02
| = r
2
. z
01
, z
02
∈
C, r
1
, r
2
∈ R. Найти:
1) условие, при котором окружности пересекаются (касаются);
2) точки пересечения z
1
, z
2
данных окружностей;
3) угол α в точках пересечения.
2.45 Найти расстояние от точки z
0
до прямой из задачи 2.8.
2.46 Найти проекцию точки z
0
на прямую из задачи 2.8.
2.47 Определить г.м.т. |z −a| = |Re (Bz +C/2)|/|B| (a, B ∈ C, C ∈ R).
2.48 Записать уравнение биссектрисы из вершины z
1
треугольника с
вершинами в точках z
1
, z
2
, z
3
.
Ответы, указания и решения
2.1 1) Окружность радиуса r с центром в z
0
; 2) внешность этой
окружности без границы; 3) замкнутый круг; 4) открытое концен-
трическое кольцо; 5) эллипс с фокусами a и b; 6) гипербола с фокусами
a и b.
Указание. Воспользоваться определением соответствующих кривых
второго порядка.
2.2 1) Положительно ориентированная окружность |z − 1| = 2;
2) ориентированный отрезок [a, −a]; 3) прямая, проходящая через точку
18
прямых. Найти эти прямые. Выяснить геометрический смысл преобра-
зования.
    2.39 Показать, что преобразование w = a/z (a ∈ C) представимо в
виде композиции двух симметрий относительно окружности с центром
в z = 0 и прямой, проходящей через z = 0. Найти эти окружность и
прямую.
    2.40 Показать, что произвольное дробно-линейное преобразование
w = (az + b)/(cz + d) (a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0) представимо в виде
суперпозиции четного числа преобразований симметрии.
    2.41 Доказать, что уравнение |(z − z1 )/(z − z2 )| = k при k > 0 и
k 6= 1 является уравнением окружности, найти ее центр z0 и радиус r.
Показать, что точки z1 и z2 симметричны относительно этой окружности.
Рассмотреть случай k = 1.
    2.42 Определить г.м.т. |(z − 2)/(2z − 1)| ≤ 1.
    2.43 Записать уравнение окружности, проходящей через три задан-
ные точки z1 , z2 , z3 .
    2.44 Даны две окружности |z − z01 | = r1 , |z − z02 | = r2 . z01 , z02 ∈
C, r1 , r2 ∈ R. Найти:
    1) условие, при котором окружности пересекаются (касаются);
    2) точки пересечения z1 , z2 данных окружностей;
    3) угол α в точках пересечения.
    2.45 Найти расстояние от точки z0 до прямой из задачи 2.8.
    2.46 Найти проекцию точки z0 на прямую из задачи 2.8.
    2.47 Определить г.м.т. |z − a| = |Re (Bz + C/2)|/|B| (a, B ∈ C, C ∈ R).
    2.48 Записать уравнение биссектрисы из вершины z1 треугольника с
вершинами в точках z1 , z2 , z3 .

   Ответы, указания и решения

    2.1 1) Окружность радиуса r с центром в z0 ; 2) внешность этой
окружности без границы; 3) замкнутый круг; 4) открытое концен-
трическое кольцо; 5) эллипс с фокусами a и b; 6) гипербола с фокусами
a и b.
Указание. Воспользоваться определением соответствующих кривых
второго порядка.
    2.2 1) Положительно ориентированная окружность |z − 1| = 2;
2) ориентированный отрезок [a, −a]; 3) прямая, проходящая через точку



                                    18

Страницы