Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 19 стр.

a под углом α с R+   x (направление обхода совпадает с направлением век-
        iα
тора e ); 4) ориентированный отрезок [a, b]; 5) эллипс с фокусами в
точках ±2 и полуосями |α ± 1/α|, ориентированный положительно при
|α| > 1 и отрицательно при 0 < |α| < 1, при α = ±1 – дважды прохо-
димые отрезки [−2, 2] и [−2i , 2i ] соответственно; 6) n = 2k – дважды
проходимая ветвь гиперболы xy = 1 (x > 0, y > 0), n = 2k + 1 – обе
ветви гиперболы, проходимые в направлении возрастания x при n > 0
и убывания x при n < 0; 7) положительно ориентированная окруж-
ность |z − 1/2| = 1/2; 8) положительно ориентированная окружность
|z − i /2| = 1/2.
    2.3 1) Окружность |z| = 1; 2) окружность |z| = |a| и луч arg z =
arg a + π .
Указание. 1) Воспользоваться равенством Im w = (w − w)/2i ; 2) запи-
сать числа z и a в показательной форме.
    2.4 1) Луч, исходящий из точки a под углом α к R+   x ; 2) луч, исходящий
из точки a и проходящий через точку b; 3) дополнение луча 2) до прямой;
4) дополнение отрезка [a, b] до прямой.
    2.5 1) Та открытая дуга окружности |z − (a + b ± i (a − b)ctg α)/2| =
|a − b|/|2 sin α| ("плюс", если 0 < |α| ≤ π/2, "минус", если π/2 < |α| <
π), опирающаяся на точки a и b, для которой ориентация тройки чисел
{a, z, b} совпадает со знаком α; при α = π – интервал (a, b); при α = 0 –
см. 2.4 4).
    Решение. Обозначим через γ(z) = arg(z − a) − arg(z − b) угол меж-
ду векторами z − a и z − b (−2π < γ(z) < 2π). Так как −π < α ≤ π
(см. определение главного значения аргумента), то γ(z) ≡ α (mod 2π)
и, следовательно, по условию задачи угол при вершине z треугольни-
ка a, z, b постоянен (сделать чертеж). Таким свойством обладает множе-
ство точек z, лежащих на дуге окружности, опирающейся на точки a и
b с центром в точке z0 , для которой тройка чисел {a, z0 , b} ориентиро-
вана положительно при α ∈ (−π, −π/2) ∪ (0, π/2) и отрицательно, если
α ∈ [−π/2, 0) ∪ [π/2, π), при этом ориентация тройки чисел {a, z, b} сов-
падает со знаком α. Центр и радиус этой окружности определяется из
соотношений a − z0 = (b − z0 )e±2αi , r = |a − z0 |, где выбор знака указан
в ответе. Случаи α = 0 и α = π исследовать самостоятельно.
2) Обозначим через Γ – г.м.т. предыдущей задачи, где α ≡ β (mod 2π)
(−π < α ≤ π; −2π < β < 2π), через D – полуполосу, ограниченную лучами
arg(z−a) = π, arg(z−b) = π и отрезком [a, b]. Тогда искомое г.м.т. Γ0 можно
записать в виде: Γ0 = {Γ ∩ out D, 0 < |β| < π; Γ ∩ D, π < |β| < 2π};

                                     19