Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.9 Re {B(z − z
0
)} = 0 , B ∈ C (можно считать |B| = 1 ).
2.10 |arg(B
2
/B
1
)|.
Указание. Достаточно рассмотреть прямые, проходящие через начало
координат (C = 0), и учесть, что точки i B
1
и i B
2
принадлежат соответ-
ствующим прямым.
2.11 Re {B
2
/B
1
} = 0 (Re {B
1
B
2
} = 0) – условие ортогональности;
Im {B
2
/B
1
} = 0 (Im {B
1
B
2
} = 0) – условие параллельности.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
2.12 Im {B(z − z
0
)} = 0 .
Указание. Записать условие ортогональности вектора z − z
0
, где z –
произвольная точка искомой прямой, направляющему вектору i B дан-
ной прямой.
2.13 Указание. Воспользоваться результатом задач 2.8 и 2.12.
2.14 Im {(z
1
− z
0
)(z − z
0
)} = 0 , или Im {( z − z
0
)/(z − z
1
)} = 0 .
Указание. Записать условие коллинеарности векторов z
1
− z
0
и z − z
0
,
или z − z
0
и z − z
1
, где z – произвольная точка на прямой.
2.15 Re {z
0
(z − z
0
)} = 0 .
2.16 1) Re {(z
2
− z
1
)(z − z
0
)} = 0 ; 2) Im {(z
2
− z
1
)(z − z
0
)} = 0 .
2.17 1) Re {z
1
z} = 0; 2) Re {(z
2
− z
1
)(2z − (z
1
+ z
2
))} = 0 .
2.18 |z| = 1. Решение. Уравнение нормали к соответствующей пря-
мой указанного семейства имеет вид Im {e
−i α
z} = 0 (см. задачу 2.12),
поэтому точка их пересечения определяется из соотношения e
−i α
z = 1,
0 ≤ α < 2π.
2.19 1) |z − 1/2| = 1/ 2; 2) |z − i /2| = 1/2.
Указание. Воспользоваться результатом задач 2.2 7), 2.2 8) и предыду-
щей задачи.
2.20 1) Указание. Записать числа z
1
− z
2
и z
1
− z
3
в показательной
форме; 2) Im {(z
1
− z
3
)(z
1
− z
2
)} = ±S, где S – площадь параллелограм-
ма, построенного на векторах z
1
−z
2
и z
1
−z
3
как на основаниях, причем
знак "плюс"или "минус"выбирается в соответствии с тем, является трой-
ка чисел {z
1
, z
2
, z
3
} ориентированной положительно или отрицательно
соответственно.
2.21 1)Re {az} = 0; 2) луч на прямой Re {az} = 0, для которого
тройка чисел {0, z, a} ориентирована отрицательно.
2.22 Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.20.
2.23 Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.11.
2.24 [(z
4
− z
3
)Im {z
1
z
2
} − (z
2
− z
1
)Im {z
3
z
4
}]/Im {(z
2
− z
1
)(z
4
− z
3
)}.
Указание. Записав условие принадлежности точек z
0
, z
1
, z
2
и z
0
, z
3
, z
4
21
   2.9 Re {B(z − z0 )} = 0, B ∈ C (можно считать |B| = 1).
   2.10 | arg(B2 /B1 )|.
Указание. Достаточно рассмотреть прямые, проходящие через начало
координат (C = 0), и учесть, что точки i B1 и i B2 принадлежат соответ-
ствующим прямым.
   2.11 Re {B2 /B1 } = 0 (Re {B1 B2 } = 0) – условие ортогональности;
Im {B2 /B1 } = 0 (Im {B1 B2 } = 0) – условие параллельности.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
   2.12 Im {B(z − z0 )} = 0.
Указание. Записать условие ортогональности вектора z − z0 , где z –
произвольная точка искомой прямой, направляющему вектору i B дан-
ной прямой.
   2.13 Указание. Воспользоваться результатом задач 2.8 и 2.12.
   2.14 Im {(z1 − z0 )(z − z0 )} = 0, или Im {(z − z0 )/(z − z1 )} = 0.
Указание. Записать условие коллинеарности векторов z1 − z0 и z − z0 ,
или z − z0 и z − z1 , где z – произвольная точка на прямой.
   2.15 Re {z0 (z − z0 )} = 0.
   2.16 1) Re {(z2 − z1 )(z − z0 )} = 0; 2) Im {(z2 − z1 )(z − z0 )} = 0.
   2.17 1) Re {z1 z} = 0; 2) Re {(z2 − z1 )(2z − (z1 + z2 ))} = 0.
   2.18 |z| = 1. Решение. Уравнение нормали к соответствующей пря-
мой указанного семейства имеет вид Im {e−i α z} = 0 (см. задачу 2.12),
поэтому точка их пересечения определяется из соотношения e−i α z = 1,
0 ≤ α < 2π.
   2.19 1) |z − 1/2| = 1/2; 2) |z − i /2| = 1/2.
Указание. Воспользоваться результатом задач 2.2 7), 2.2 8) и предыду-
щей задачи.
   2.20 1) Указание. Записать числа z1 − z2 и z1 − z3 в показательной
форме; 2) Im {(z1 − z3 )(z1 − z2 )} = ±S, где S – площадь параллелограм-
ма, построенного на векторах z1 − z2 и z1 − z3 как на основаниях, причем
знак "плюс"или "минус"выбирается в соответствии с тем, является трой-
ка чисел {z1 , z2 , z3 } ориентированной положительно или отрицательно
соответственно.
   2.21 1)Re {az} = 0; 2) луч на прямой Re {az} = 0, для которого
тройка чисел {0, z, a} ориентирована отрицательно.
   2.22 Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.20.
   2.23 Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.11.
   2.24 [(z4 − z3 )Im {z1 z2 } − (z2 − z1 )Im {z3 z4 }]/Im {(z2 − z1 )(z4 − z3 )}.
Указание. Записав условие принадлежности точек z0 , z1 , z2 и z0 , z3 , z4

                                       21

Страницы