Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

соответствующим прямым, исключить из полученных соотношений z
0
.
2.25 i (z
1
Re {z
1
(z
2
−z
3
)}+z
2
Re {z
2
(z
3
−z
1
)}+z
3
Re {z
3
(z
1
−z
2
)})/Im {z
1
z
2
+
z
2
z
3
+z
3
z
1
}.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.16 1). Проверить, что
ответ не изменяется при циклической перестановке вершин треугольни-
ка.
2.26 Решение. Обозначим через z
ij
= (z
i
+ z
j
)/2 – середину стороны
треугольника, соединяющей вершины z
i
и z
j
(z
ij
= z
ji
, i, j = 1, 2, 3),
а через w
ij
– точку пересечения медиан, выходящих из вершин z
i
и z
j
.
Используя результат задачи 2.22, получим:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
z
1
z
23
w
12
z
1
z
23
w
12
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
z
2
z
13
w
12
z
2
z
13
w
12
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0 ⇒
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
z
i
w
0
w
12
z
i
w
0
w
12
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0,
i = 1, 2, где w
0
= (z
1
+ z
2
+ z
3
)/3 (в определителях к второму столбцу
прибавлен первый, домноженный на 1/2 ). Последнее условие показыва-
ет, что точки z
1
, w
0
, w
12
и z
2
, w
0
, w
12
соответственно лежат на прямых
⇒ w
0
= w
12
. Аналогично показывается, что w
12
= w
13
= w
23
= w
0
.
Чтобы доказать вторую часть утверждения, достаточно рассмотреть
отношение
|w
0
− z
1
|/|z
23
− w
0
| = 2/1.
2.27 1) Прямая Im z = 0, окружность |z −1| = 1; 2) прямые Im z = 0,
Re z = −1/2.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.22.
2.28 z
12
= (a ± kb)/(1 ± k) (k 6= 1), z = (a + b)/2 (k = 1).
Указание. Уравнение прямой, проходящей через точки a и b, записать
(см. 2.14) в виде Im {(z − a)/(z − b)} = 0 ⇒ |(z − a)/(z − b)| = ±(z −
a)/(z − b).
2.29 β
2
− α
2
= 2 (a = α + i β).
Указание. Уравнение искомой прямой l записать в виде Re {(1 + i )(z −
a)} = 0 (a = (z
1
+ z
2
)/2 ∈ l). Исключить z и z из этого уравнения,
исходного и комплексно сопряженного к исходному.
2.30 1) Re {B(z−a)} = 0, B = (r±i
p
|a − z
0
|
2
− r
2
)/(a−z
0
) (|B| = 1 ).
Решение. Пусть z
1
– точка касания. Тогда уравнение касательной за-
пишется в виде Re {(z
1
−z
0
)(z−a)} = 0 (см. 2.16 1)) ⇒ (z
1
−z
0
)(z
1
−a) +
(z
1
−z
0
)(z
1
−a) = 0. Умножая на (z
1
−z
0
)(z
1
−a) обе части последнего
равенства и учитывая, что |z
1
−z
0
|
2
= r
2
, |z
1
−a|
2
= |a−z
0
|
2
−r
2
, получим
22
соответствующим прямым, исключить из полученных соотношений z0 .
    2.25 i (z1 Re {z1 (z2 −z3 )}+z2 Re {z2 (z3 −z1 )}+z3 Re {z3 (z1 −z2 )})/Im {z1 z2+
z2 z3 +z3 z1 }.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.16 1). Проверить, что
ответ не изменяется при циклической перестановке вершин треугольни-
ка.
    2.26 Решение. Обозначим через zij = (zi + zj )/2 – середину стороны
треугольника, соединяющей вершины zi и zj (zij = zji , i, j = 1, 2, 3),
а через wij – точку пересечения медиан, выходящих из вершин zi и zj .
Используя результат задачи 2.22, получим:
      ¯                ¯        ¯                ¯         ¯                ¯
      ¯ 1 1        1 ¯¯         ¯ 1 1        1 ¯¯          ¯ 1 1         1 ¯¯
      ¯                         ¯                          ¯
      ¯ z1 z23 w12 ¯ = 0, ¯ z2 z13 w12 ¯ = 0 ⇒ ¯ zi w0 w12 ¯ = 0,
      ¯                ¯        ¯                ¯         ¯                ¯
      ¯ z1 z23 w12 ¯            ¯ z2 z13 w12 ¯             ¯ zi w0 w12 ¯

i = 1, 2, где w0 = (z1 + z2 + z3 )/3 (в определителях к второму столбцу
прибавлен первый, домноженный на 1/2 ). Последнее условие показыва-
ет, что точки z1 , w0 , w12 и z2 , w0 , w12 соответственно лежат на прямых
⇒ w0 = w12 . Аналогично показывается, что w12 = w13 = w23 = w0 .
    Чтобы доказать вторую часть утверждения, достаточно рассмотреть
отношение
                          |w0 − z1 |/|z23 − w0 | = 2/1.
    2.27 1) Прямая Im z = 0, окружность |z − 1| = 1; 2) прямые Im z = 0,
Re z = −1/2.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.22.
    2.28 z12 = (a ± kb)/(1 ± k) (k 6= 1), z = (a + b)/2 (k = 1).
Указание. Уравнение прямой, проходящей через точки a и b, записать
(см. 2.14) в виде Im {(z − a)/(z − b)} = 0 ⇒ |(z − a)/(z − b)| = ±(z −
a)/(z − b).
    2.29 β 2 − α2 = 2 (a = α + i β).
Указание. Уравнение искомой прямой l записать в виде Re {(1 + i )(z −
a)} = 0 (a = (z1 + z2 )/2 ∈ l). Исключить z и z из этого уравнения,
исходного и комплексно сопряженного p    к исходному.
    2.30 1) Re {B(z−a)} = 0, B = (r±i |a − z0 |2 − r2 )/(a−z0 ) (|B| = 1).
Решение. Пусть z1 – точка касания. Тогда уравнение касательной за-
пишется в виде Re {(z1 −z0 )(z −a)} = 0 (см. 2.16 1)) ⇒ (z1 −z0 )(z1 −a) +
(z1 − z0 )(z1 − a) = 0. Умножая на (z1 − z0 )(z1 − a) обе части последнего
равенства и учитывая, что |z1 −z0 |2 = r2 , |z1 −a|2 = |a−z0 |2 −r2 , получим

                                         22

Страницы