Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 20 стр.

при β = 0 – г.м.т. задачи 2.4 4); при β = π (−π), Γ0 = {(a, b) пусто, если
Im a < Im b; пусто ((a, b)), если Im a > Im b; если Im a = Im b, то (a, b)
пусто, при Re a > Re b; пусто ((a, b)), при Re a < Re b}.
Указание. Показать, что при 0 < |β| < π из г.м.т. предыдущей зада-
чи исключается множество точек z, для которых γ(z) = β ± 2π (знак
противоположен знаку β), а при π < |β| < 2π – множество точек z, для
которых γ(z) = α.
3) Открытая дуга окружности |z + i |a|2 /[2Im a]| = |a|2 /[2|Im a|], опираю-
щаяся на точки −a, 0, для которой ориентация тройки чисел {−a, z, 0}
совпадает со знаком arg a; при arg a = π – интервал (−a, 0); при arg a = 0
– дополнение отрезка [−a, 0] до прямой.
Указание. Переписав условие задачи в виде arg(z + a) − arg z = arg a,
воспользоваться результатом предыдущей задачи.
    2.6 Луч arg z = arg a и открытая дуга окружности |z| = |a|, соеди-
няющая точки −a и −|a| и содержащая точку a, если a 6= −|a|; при
a = −|a| (a < 0) – полуокружность |z| = |a|, Im z > 0, содержащая
точку a.
Указание. Переписав условие задачи в виде arg(z + a) − arg z = arg a −
arg(z + a), заключаем, что либо все точки 0, z, a, z + a лежат на одном
луче и, следовательно, arg z = arg a, либо четырехугольник с вершинами
в этих точках – ромб, откуда |z| = |a|, т.е. z = |a|ei ϕ . Полагая a = |a|ei α ,
получим arg(z + a) = arg(ei ϕ + ei α ) = arg{2 cos[(ϕ − α)/2]ei (ϕ+α)/2 } =
(ϕ + α)/2 ⇔ |ϕ − α| < π. Легко видеть, что в этом и только в этом случае
выполняется условие задачи. Из последнего неравенства, учитывая что
−π < ϕ ≤ π, получим α − π < ϕ < π, если 0 ≤ α ≤ π и −π < ϕ < π + α,
если −π < α ≤ 0.          p
    2.7 z0 = −B/A, r = |B|2 − AC/A.
Решение. Так как A > 0, то разделив на A, запишем уравнение в виде
                                                              p
(z + B/A)(z + B/A) = (BB − AC)/A2 ⇒ |z + B/A| = |B|2 − AC/A.

   2.8 Прямая проходит через точку z0 = −C/(2B) перпендикулярно
вектору B.                 ©                ª
Решение. Из уравнения Re B[z + C/(2B)] = 0, эквивалентного исход-
ному, следует B[z+C/(2B)] = i t|B|2 для ∀t ∈ R (множитель |B|2 взят для
удобства). Таким образом, искомое г.м.т. z − z0 = i Bt является прямой,
поскольку из последнего равенства следует Arg (z − z0 ) = Arg B ± π/2
(см. также задачу 2.2,3).

                                      20