Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.37 Если r
2
2
/r
2
1
= |a|, 2(α
2
− α
1
) = arg a, то окружности |z| = r
1
,
|z| = r
2
и прямые Im {e
−i α
1
z} = 0, Im {e
−i α
2
z} = 0 искомые. Гомотетия с
центром в точке z = 0 (растяжение в |a|) раз и поворот на угол arg a.
2.38 Если α = arg b, d −c = |b|
2
(d > c), то прямые 2Re {e
−i α
z}+ d =
0, 2Re {e
−i α
z} + c = 0 искомые. Параллельный перенос на вектор b.
Указание. Взяв параллельные прямые в указанной форме, осуществить
симметрии относительно этих прямых в порядке их следования.
2.39 |z| =
p
|a|, Im {e
−(i arg a)/2
z} = 0.
Указание. Воспользоваться результатом задач 2.32, 2.34.
2.40 Указание. Представив дробно-линейное преобразование в виде
w = A + B/(z + C), A, B, C ∈ C, воспользоваться результатом задач 2.37
- 2.39.
2.41 z
0
= (k
2
z
2
− z
1
)/(k
2
− 1), r = k|z
2
− z
1
|/|k
2
− 1|. При k = 1 –
перпендикуляр к середине отрезка [z
1
, z
2
].
Указание. Воспользоваться результатом задач 2.7, 2.32, 1.6,2).
2.42 |z| ≥ 1.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
2.43 |z − z
0
| = r где,
z
0
= i [z
1
(|z
3
|
2
− |z
2
|
2
)+z
2
(|z
1
|
2
−|z
3
|
2
) +z
3
(|z
2
|
2
− |z
1
|
2
)]/2Im {z
1
z
2
+z
2
z
3
+z
3
z
1
},
r = |z
k
− z
0
|, ∀k = 1, 2, 3.
Указание. Записав уравнение искомой окружности в комплексной фор-
ме: zz −z
0
z −z
0
z + |z
0
|
2
−r
2
= 0, положить z = z
1
, r
2
= (z
k
−z
0
)(z
k
−z
0
)
при k = 2, k = 3 соответственно и из полученных равенств исключить
z
0
.
2.44 1) Пусть R = |z
01
− z
02
|, тогда |r
1
− r
2
| < R < r
1
+ r
2
– условие
пересечения (R = r
1
+ r
2
– условие касания).
Указание. Воспользоваться неравенством 1.15,1) (неравенство тре-
угольника).
2) z
1,2
= (z
01
+ z
02
)/2 −
(z
01
− z
02
)
³
r
2
1
− r
2
2
±
p
(R
2
− (r
1
− r
2
)
2
)(R
2
− (r
1
+ r
2
)
2
)
´
/(2R
2
).
Указание. Записав уравнения окружностей в комплексной форме
(2.7), исключить z.
3) cos α = (R
2
− r
2
1
− r
2
2
)/2r
1
r
2
.
Указание. Учитывая ортогональность касательной и радиуса-
вектора соответствующей окружности в точке касания, показать, что
угол при вершине z
k
треугольника z
01
z
02
z
k
, k = 1, 2 равен (π −α), где α –
24
    2.37 Если r22 /r12 = |a|, 2(α2 − α1 ) = arg a, то окружности |z| = r1 ,
|z| = r2 и прямые Im {e−i α1 z} = 0, Im {e−i α2 z} = 0 искомые. Гомотетия с
центром в точке z = 0 (растяжение в |a|) раз и поворот на угол arg a.
    2.38 Если α = arg b, d − c = |b|2 (d > c), то прямые 2Re {e−i α z} + d =
0, 2Re {e−i α z} + c = 0 искомые. Параллельный перенос на вектор b.
Указание. Взяв параллельные прямые в указанной форме, осуществить
симметрии относительно
                p            этих прямых в порядке их следования.
                            −(i arg a)/2
    2.39 |z| = |a|, Im {e                z} = 0.
Указание. Воспользоваться результатом задач 2.32, 2.34.
    2.40 Указание. Представив дробно-линейное преобразование в виде
w = A + B/(z + C), A, B, C ∈ C, воспользоваться результатом задач 2.37
- 2.39.
    2.41 z0 = (k 2 z2 − z1 )/(k 2 − 1), r = k|z2 − z1 |/|k 2 − 1|. При k = 1 –
перпендикуляр к середине отрезка [z1 , z2 ].
Указание. Воспользоваться результатом задач 2.7, 2.32, 1.6,2).
    2.42 |z| ≥ 1.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
    2.43 |z − z0 | = r где,

z0 = i [z1 (|z3 |2 −|z2 |2 )+z2 (|z1 |2 −|z3 |2 )+z3 (|z2 |2 −|z1 |2 )]/2Im {z1 z2+z2 z3+z3 z1 },

r = |zk − z0 |, ∀k = 1, 2, 3.
Указание. Записав уравнение искомой окружности в комплексной фор-
ме: zz − z0 z − z0 z + |z0 |2 − r2 = 0, положить z = z1 , r2 = (zk − z0 )(zk − z0 )
при k = 2, k = 3 соответственно и из полученных равенств исключить
z0 .
     2.44 1) Пусть R = |z01 − z02 |, тогда |r1 − r2 | < R < r1 + r2 – условие
пересечения (R = r1 + r2 – условие касания).
Указание. Воспользоваться неравенством 1.15,1) (неравенство тре-
угольника).
     2) z1,2 =
             ³ (z01 + z02p
                         )/2 −                                ´
(z01 − z02 ) r1 − r2 ± (R − (r1 − r2 ) )(R − (r1 + r2 ) ) /(2R2 ).
                2    2         2           2  2             2

     Указание. Записав уравнения окружностей в комплексной форме
(2.7), исключить z.
     3) cos α = (R2 − r12 − r22 )/2r1 r2 .
     Указание. Учитывая ортогональность касательной и радиуса-
вектора соответствующей окружности в точке касания, показать, что
угол при вершине zk треугольника z01 z02 zk , k = 1, 2 равен (π − α), где α –

                                               24

Страницы