Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

искомый угол между касательными в точках касания и воспользоваться
теоремой косинусов.
2.45 |Re (Bz
0
) + C/2|/|B|.
Указание. Искомое расстояние равно |z
0
−z
∗
0
|/2, где z
∗
0
– точка, симмет-
ричная с z
0
относительно прямой.
2.46 [i Im (Bz
0
) − C/2]/B.
Указание. Проекция точки z
0
на прямую равна (z
0
+ z
∗
0
)/2, где z
∗
0
–
точка, симметричная с z
0
относительно прямой.
2.47 Парабола с фокусом a и директрисой Bz + Bz + C = 0.
Указание. Смотри определение параболы.
2.48 Im {[|z
3
− z
1
|(z
2
− z
1
) + |z
2
− z
1
|(z
3
− z
1
)](z − z
1
)} = 0.
Указание. Воспользоваться результатом задач 2.43, 2.14 и знак соот-
ветствующих выражений выбрать согласно 2.20.
3. Конформные отображения
Функция f (z), определенная на множестве D ∈ C, называется однолист-
ной, если f(z
1
) = f(z
2
) ⇔ z
1
= z
2
, ∀z
1
, z
2
∈ D.
Справедлива следующая теорема существования
Теорема Римана о конформном отображении. Любые две од-
носвязные области D и D
∗
, границы которых состоят более чем из од-
ной точки, конформно эквивалентны, т.е. в существует голоморфная
и однолистная функция w = f(z), отображающая D на D
∗
.
Условиями w(z
0
) = w
0
, arg w
0
(z
0
) = α при произвольно заданных
z
0
∈ D, w
0
∈ D
∗
и α ∈ (−π, π] отображение f(z) определяется един-
ственным образом.
В вопросах конструктивного построения конформного отображения
одной области на другую чрезвычайно полезно использовать
Принцип симметрии Римана-Шварца. Пусть область D ∈ C
ограничена жордановой кривой Γ, в состав которой входит дуга l
окружности L или отрезок l прямой L. Пусть функция f(z) определе-
на и непрерывна на D ∪ l, голоморфна в D, а на l принимает значения,
принадлежащие некоторой окружности или прямой Γ. Тогда f(z) про-
должается через l в область D
∗
, симметричную с D относительно L,
до функции F (z), голоморфной в области D ∪l ∪D
∗
. Такое продолжение
единственно и дается формулой
F (z) = {f(z), z ∈ D ∪l; f
∗
(z
∗
), z ∈ D
∗
},
25
искомый угол между касательными в точках касания и воспользоваться
теоремой косинусов.
   2.45 |Re (Bz0 ) + C/2|/|B|.
Указание. Искомое расстояние равно |z0 − z0∗ |/2, где z0∗ – точка, симмет-
ричная с z0 относительно прямой.
   2.46 [i Im (Bz0 ) − C/2]/B.
Указание. Проекция точки z0 на прямую равна (z0 + z0∗ )/2, где z0∗ –
точка, симметричная с z0 относительно прямой.
   2.47 Парабола с фокусом a и директрисой Bz + Bz + C = 0.
Указание. Смотри определение параболы.
   2.48 Im {[|z3 − z1 |(z2 − z1 ) + |z2 − z1 |(z3 − z1 )](z − z1 )} = 0.
Указание. Воспользоваться результатом задач 2.43, 2.14 и знак соот-
ветствующих выражений выбрать согласно 2.20.


3.     Конформные отображения
Функция f (z), определенная на множестве D ∈ C, называется однолист-
ной, если f (z1 ) = f (z2 ) ⇔ z1 = z2 , ∀z1 , z2 ∈ D.
   Справедлива следующая теорема существования
   Теорема Римана о конформном отображении. Любые две од-
носвязные области D и D∗ , границы которых состоят более чем из од-
ной точки, конформно эквивалентны, т.е. в существует голоморфная
и однолистная функция w = f (z), отображающая D на D∗ .
   Условиями w(z0 ) = w0 , arg w0 (z0 ) = α при произвольно заданных
z0 ∈ D, w0 ∈ D∗ и α ∈ (−π, π] отображение f (z) определяется един-
ственным образом.
   В вопросах конструктивного построения конформного отображения
одной области на другую чрезвычайно полезно использовать
   Принцип симметрии Римана-Шварца. Пусть область D ∈ C
ограничена жордановой кривой Γ, в состав которой входит дуга l
окружности L или отрезок l прямой L. Пусть функция f (z) определе-
на и непрерывна на D ∪ l, голоморфна в D, а на l принимает значения,
принадлежащие некоторой окружности или прямой Γ. Тогда f (z) про-
должается через l в область D∗ , симметричную с D относительно L,
до функции F (z), голоморфной в области D ∪ l ∪ D∗ . Такое продолжение
единственно и дается формулой
             F (z) = { f (z),   z ∈ D ∪ l;   f ∗ (z ∗ ),   z ∈ D∗ },

                                      25

Страницы