Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 27 стр.

(z−1)/(z+1) 1) единичную окружность; 2) вещественную ось; 3) мнимую
ось?
     3.7 Выяснить, куда переводит отображение w = (z−a)/(z−b) отрезок
[a, b], a, b ∈ C.
     3.8 Определить образ при отображении показательной функцией w =
 z
e следующих областей: 1) полоса 0 < Im z < 2π; 2) полоса −π < Im z <
π; 3) полоса 0 < Im z < π; 4) полуполоса 0 < Im z < 2π, −∞ < Re z < 0;
5) полуполоса 0 < Im z < π, −∞ < Re z < 0; 6) полуполоса 0 < Im z < π,
0 < Re z < ∞; 7) прямоугольник −π < Im z < π, α < Re z < β; 8) полоса
h < Im z < h + 2π.
     3.9 Найти образ следующих областей при отображении однозначной
ветвью функции w = Ln z, определенной одним из условий а) Ln 1 = 0;
б) Ln 1 = 2i π (в случаях 1), 4) значение Ln 1 фиксируется на верхнем
берегу разреза): 1) плоскость с разрезом по R+  x ; 2) плоскость с разрезом
       −
по Rx ; 3) верхняя полуплоскость; 4) внутренность единичного круга с
разрезом по по сегменту [0, 1]; 5) единичный полукруг D+ = {z; |z| <
1, Im z > 0}; 6) внешность единичного круга в верхней полуплоскости
D− = {z; |z| > 1, Im z > 0}; 7) кольцо, образованное концентрическими
окружностями с центром в z = 0 радиусов eα и eβ (a < b) с разрезом по
отрезку [−eβ , −eα ]; 8) плоскость с разрезом по лучу arg z = h (−π <
h ≤ π).
     3.10 1) Найти функцию, отображающую сектор 0 < arg z < α кон-
формно на сектор 0 < arg w < β (0 < α, β ≤ 2π); 2) Найти образ сектора
0 < arg z < 2π/n при отображении функцией w = z n , n ∈ N.
     3.11
      √ Выяснить, во что преобразует однозначная ветвь функции +
w = z: 1) верхнюю полуплоскость; 2) плоскость с разрезом по Rx ;
3) плоскость с разрезом по R−      x ; 4) внутренность единичного круга с
разрезом
√            по сегменту [0,√
                            1], если ветвь фиксируется условием а) w(i ) =
   2(1 + i )/2; б) w(i ) = − 2(1 + i )/2.
     3.12 Выяснить, во что функция Жуковского w = (z + 1/z)/2 пре-
образует: 1) внутренность единичного круга; 2) внешность единичного
круга; 3) единичный полукруг D+ = {z; |z| < 1, Im z > 0}; 4) внешность
единичного круга в верхней полуплоскости D− = {z; |z| > 1, Im z > 0};
5) внутренность единичного круга, лежащего в нижней полуплоскости
(D+ = {z; |z| < 1, Im z < 0}); 6) внешность единичного круга в ниж-
ней полуплоскости (D− = {z; |z| > 1, Im z < 0}); 7) верхнюю полуплос-
кость; 8) нижнюю полуплоскость; 9) пересечение внутренности единич-
ного круга с первым квадрантом (D+ = {z; |z| < 1, Im z > 0, Re z > 0});

                                    27