Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10) часть внешности единичного круга, лежащая в первом квадранте
(D
+
= {z; |z| > 1, Im z > 0, Re z > 0}); 11) область D = {z; 1/2 < |z| < 2,
π/4 < arg z < 3π/4}.
3.13 Найти образ при отображении однозначной ветвью обратной
функции Жуковского w = z+
√
z
2
− 1 следующих областей: 1) плоскость
с разрезом по отрезку [−1, 1]; 2) верхнюю полуплоскость; 3) плоскость с
разрезами [−∞, −1], [1, ∞] по вещественной оси, если ветвь фиксируется
условием а) w(i ) = (1 −
√
2)i ; б) w(i ) = (1 +
√
2)i .
В задачах 3.14 - 3.21 отобразить указанные области на верхнюю по-
луплоскость.
3.14 Полуплоскость Im z > 0 с разрезом [0, i h], h > 0.
3.15 Полуплоскость Im z > 0 с разрезом по дуге единичной окруж-
ности {z : |z| = 1, 0 < arg z < α < π}.
3.16 Полосу 0 < Im z < π с разрезом [0, i π/2].
3.17 Полуплоскость Im z >0 с разрезами по отрезкам [0, i h
1
], [i h
2
, ∞]
на R
+
y
(0 < h
1
< h
2
).
3.18 Полуполосу 0 < Im z < π, −∞ < Re z < 0.
3.19 Полуполосу 0 < Im z < 2π, −∞ < Re z < 0; с разрезом по лучу
Im z = π, −∞ < Re z ≤ x
0
< 0.
3.20 Область, ограниченную окружностями |z − 1| = 1, |z + 1| = 1 с
разрезом [−i , i ].
3.21 Область между касающимися окружностями |z − i /2| = 1/2,
|z − 3i /2| = 3/2 с разрезами [i , 3i /2], [2i , 3i ].
3.22 Отобразить область, заданную неравенствами |z−i |<2, |z+i |<2,
Re z > 0, на полуполосу 0 < Im z < π, −∞ < Re z < 0.
3.23 Отобразить область, заданную неравенствами |z − 1| <
√
2,
Re z < 0, на единичный полукруг в верхней полуплоскости.
Отобразить указанные в задачах 3.24–3.29 области на верхнюю полу-
плоскость, используя принцип симметрии.
3.24 Верхнюю полуплоскость с разрезами [0, e
i π/4
], [0, e
3i π/4
].
3.25 Верхнюю полуплоскость с разрезами вдоль отрезка [i /2, 2i ] и
дуге единичной окружности {z : |z| = 1, 0 < arg z < 3π/4}.
3.26 Внешность единичного круга в верхней полуплоскости (D =
{z; |z| > 1, Im z > 0}) с разрезами по отрезкам arg z = π/4, arg z = 3π/4,
1 < |z| <
4
√
2.
3.27 Область D = {z : |z − 1/2| > 1/2, |z + 1/2| > 1/2, Im z > 0}
(верхняя полуплоскость с двумя выкинутыми полукругами) с разрезом
28
10) часть внешности единичного круга, лежащая в первом квадранте
(D+ = {z; |z| > 1, Im z > 0, Re z > 0}); 11) область D = {z; 1/2 < |z| < 2,
π/4 < arg z < 3π/4}.
    3.13 Найти образ при отображении
                                √                однозначной ветвью обратной
                                     2
функции Жуковского w = z + z − 1 следующих областей: 1) плоскость
с разрезом по отрезку [−1, 1]; 2) верхнюю полуплоскость; 3) плоскость с
разрезами [−∞, −1], [1, ∞]√ по вещественной оси,       √ если ветвь фиксируется
условием а) w(i ) = (1 − 2)i ; б) w(i ) = (1 + 2)i .
    В задачах 3.14 - 3.21 отобразить указанные области на верхнюю по-
луплоскость.
    3.14 Полуплоскость Im z > 0 с разрезом [0, i h], h > 0.
    3.15 Полуплоскость Im z > 0 с разрезом по дуге единичной окруж-
ности {z : |z| = 1, 0 < arg z < α < π}.
    3.16 Полосу 0 < Im z < π с разрезом [0, i π/2].
    3.17 Полуплоскость Im z > 0 с разрезами по отрезкам [0, i h1 ], [i h2 , ∞]
на R+y (0 < h1 < h2 ).
    3.18 Полуполосу 0 < Im z < π, −∞ < Re z < 0.
    3.19 Полуполосу 0 < Im z < 2π, −∞ < Re z < 0; с разрезом по лучу
Im z = π, −∞ < Re z ≤ x0 < 0.
    3.20 Область, ограниченную окружностями |z − 1| = 1, |z + 1| = 1 с
разрезом [−i , i ].
    3.21 Область между касающимися окружностями |z − i /2| = 1/2,
|z − 3i /2| = 3/2 с разрезами [i , 3i /2], [2i , 3i ].
    3.22 Отобразить область, заданную неравенствами |z−i | < 2, |z+i | < 2,
Re z > 0, на полуполосу 0 < Im z < π, −∞ < Re z < 0.                        √
    3.23 Отобразить область, заданную неравенствами |z − 1| < 2,
Re z < 0, на единичный полукруг в верхней полуплоскости.
   Отобразить указанные в задачах 3.24–3.29 области на верхнюю полу-
плоскость, используя принцип симметрии.
    3.24 Верхнюю полуплоскость с разрезами [0, ei π/4 ], [0, e3i π/4 ].
    3.25 Верхнюю полуплоскость с разрезами вдоль отрезка [i /2, 2i ] и
дуге единичной окружности {z : |z| = 1, 0 < arg z < 3π/4}.
    3.26 Внешность единичного круга в верхней полуплоскости (D =
{z; |z| > 1,
          √ Im z > 0}) с разрезами по отрезкам arg z = π/4, arg z = 3π/4,
1 < |z| < 4 2.
    3.27 Область D = {z : |z − 1/2| > 1/2, |z + 1/2| > 1/2, Im z > 0}
(верхняя полуплоскость с двумя выкинутыми полукругами) с разрезом

                                      28

Страницы