Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 30 стр.

бесконечности – точка z = −d/c лежит на γ, и окружность, если
−d/c ∈  / γ. Если прямая γ переходит в прямую, то последняя будет про-
ходить через точку w = a/c (образ бесконечности) и для ее построения
достаточно найти образ любой точки на γ. Если прямая γ переходит в
окружность, то точка w = a/c принадлежит этой окружности, а точ-
ка z ∗ , симметричная с точкой z = −d/c относительно γ, будет являться
прообразом центра искомой окружности (см. замечание к решению за-
дачи 2.32). Если окружность γ переходит в прямую, то образ w1 центра
γ будет симметричен с точкой w = a/c относительно искомой прямой
и ее уравнение запишется в виде 1.6 2) (см. также 2.41). Наконец, ес-
ли окружность γ переходит в окружность, то точка, симметричная с
z = −d/c относительно γ, перейдет в центр искомой окружности и для
ее построения достаточно найти образ любой точки на γ.
Второй способ. Запишем уравнение окружности γ в комплексной фор-
ме 2.7 ( прямая получается отсюда как частный случай при A = 0). Раз-
решая это уравнение относительно z, получим z = (−Bz − C)/(Az + B)
(A, C ∈ R; B ∈ C; |B|2 − AC > 0) . Таким образом, z связано с z
на γ посредством дробно-линейного преобразования l(z) (z = l(z)). Со-
гласно 1.46, l(z) и данному дробно-линейному преобразованию t(z) =
(az + b)/(cz + d) можно поставить в соответствие матрицы
                       µ           ¶       µ       ¶
                          −B −C               a b
                   L=                , T =           .
                           A   B              c d
    Следуя указанию к задаче 1.46, обратное преобразование t−1 (z) возь-
мем в виде t−1 (z) = (δ −1 dz − δ −1 b)/(−δ −1 cz + δ −1 a), δ = ad − bc. Тогда
                     −1           −1         −1         −1        −1       −1
z = t−1 (w), z = t (w), где t (z) = (δ dz − δ b)/(−δ cz + δ a).
Подставляя эти равенства в уравнение окружности γ, получим равенство
               −1                     −1
t−1 (w) = l ◦ t (w) или w = t ◦ l ◦ t (w), которое является уравнение ис-
комой окружности (прямой). Полученной композиции дробно-линейных
                                                                  −1
преобразований будет соответствовать матрица W = T LT , элементы
которой определяют коэффициенты A1 , C1 ∈ R; B1 ∈ C этого уравне-
ния, согласно указанному выше соответствию. Записать значения этих
коэффициентов.
    3.5 1) w = ei θ (z − a)/(z − a); 2) w = ei θ (z − a)/(z − a), θ ∈ R, a ∈ C,
Im a > 0.
Решение. Пусть z = a – произвольная точка верхней полуплоскости,
тогда преобразования w = k(z − a)/(z − a) и w = k(z − a)(z − a) переведут


                                      30