Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 31 стр.

вещественную ось в окружность с центром в начале координат и радиуса
|k| (см. задачу 3.4) ⇒ |k| = 1 т.е. k = ei θ , θ ∈ R. Выбор преобразования
определяется принадлежностью образа точки z = a внутренности или
внешности круга.
    3.6 а) 1) единичная окружность (верхняя полуокружность переходит
в нижнюю и наоборот); 2) вещественная ось (полуоси остаются на месте);
3) мнимая ось (R+        −
                   y и Ry меняются местами); б) 1) мнимая ось (верхняя
полуокружность переходит в R+                         −
                                  y , нижняя – в Ry ; 2) вещественная ось
                                  −
(отрезок [−1, 1] переходит в Rx , а дополнение этого отрезка до веще-
ственной оси – в R+                                   +
                    x 3) единичная окружность (Ry переходит в верхнюю
полуокружность, R−   y – в нижнюю).
Указание. Наряду с общей схемой, изложенной в решении задачи 3.4,
здесь удобнее воспользоваться свойством сохранения углов при кон-
формном преобразовании. Так, для того, чтобы выяснить, в какую пря-
мую перейдет единичная окружность при преобразовании б) (z = −1
лежит на окружности), достаточно заметить, что вещественная ось оста-
ется на месте, поэтому искомая прямая должна быть ортогональна ве-
щественной оси и проходить через начало координат (z = 1 переходит в
w = 0 ).
    3.7 R−x.
Указание. Найти образ середины отрезка [a, b].
    3.8 Области из условия задачи 3.9, a) соответственно.
Указание. По определению w = ez = ex ei y ⇒ |w| = ex , Arg w = y.
    3.9 а) Области из условия задачи 3.8 соответственно; б) те же области,
но сдвинутые вдоль мнимой оси на 2π.
Указание. w = Ln z ⇒ Re w = ln |z|, Im w = Arg z.
    3.10 1) Однозначная ветвь функции w = z β/α , w(1) = 1; 2) Плоскость
с разрезом по R+ x.
Указание. w = z γ , γ ∈ R ⇒ |w| = |z|γ , Arg w = γ arg z + 2πkγ, k ∈ Z.
    3.11 а) 1) Первый квадрант; 2) верхняя полуплоскость; 3) правая
полуплоскость; 4) единичный полукруг в верхней полуплоскости; б) 1)
третий квадрант; 2) нижняя полуплоскость; 3) левая полуплоскость; 4)
единичный полукруг в нижней полуплоскости.
    3.12 1) C \ [−1, 1]; 2) C \ [−1, 1]; 3) нижняя полуплоскость; 4) верх-
няя полуплоскость; 5) верхняя полуплоскость; 6) нижняя полуплос-
кость; 7) плоскость с разрезами вдоль пары лучей на вещественной оси:
C \ [−∞, −1] ∪ [1, ∞]; 8) C \ [−∞, −1] ∪ [1, ∞]; 9) третий квадрант; 10) пер-
вый квадрант; 11) содержащая начало координат область, ограниченная

                                     31