Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 33 стр.

                                             √
этом фиксируется условием w(0) = 2.
Решение. Проведем вспомогательный разрез по R+                 y и рассмотрим сим-
метричную половину области – первый квадрант с разрезом по отрез-
ку [0, ei π/4 ]. Чтобы воспользоваться принципом симметрии, мы должны
отобразить эту область на первый квадрант так, чтобы вспомогательный
разрез проходил по R+       y (в данном случае остался на месте). Осуществляя
последовательно преобразования 3.10,2) (n = 2); 3.14 (h = 1), отобразим
нашу область на верхнюю полуплоскость, причем образом вспомогатель-
ного разреза будет луч [−∞, −1] ∈ R−           x . Совершая еще два преобразова-
ния: 2.38 (b = 1); 3.11 а), получим w(z) = [(z 4 +1)1/2 +1]1/2 . Эта функция,
фиксированная указанным выше образом, совпадает со своим аналити-
ческим продолжением через R+           y и осуществляет нужное отображение.
                     ·                                ¸1/2
                         (4z 4 + 17z 2 + 4)1/2 − 5z
     3.25 w(z) =                                √          , где ветвь внутреннего
                       (4z 4 + 17z 2 + 4)1/2 − 17z
радикала фиксирована условием его равенства -5 при z = 1, а внеш-
него - условием w(1) > 0.
Решение. Проведем вспомогательный разрез по дуге единичной окруж-
ности, соединяющей точки z = e3i π/4 и z = −1. Этот разрез разобьет
нашу область на две области, симметричные относительно единичной
окружности. Теперь достаточно отобразить одну из симметричных по-
ловин на первый квадрант так, чтобы вспомогательный разрез перешел в
R+y . Рассмотрим, например, внутренность единичного полукруга в верх-
ней полуплоскости с разрезом по отрезку [i /2, i ]. Осуществляя после-
довательно
        √        преобразования 3.12; 2.35 (α = π); 3.14 (h = 3/4); 3.3,1)
(α = 17/4, β = 5/4); 3.11,а), получаем искомую функцию, которая
вместе со своим аналитическим продолжением (−w(1/z) ≡ w(z)) через
R+y , осуществляет      нужное отображение.
                    q
                        √
     3.26 w(z) =          2z 8 + 5z 4 + 2 + 6z 2 /(2z), где ветви обоих радикалов
(внутреннего и внешнего) фиксируются условием равенства их трем при
z = 1.
Указание. Провести вспомогательный разрез по лучу [i , ∞] ∈ R+              y . По-
казать, что правая симметричная половина исходной области последо-
вательными преобразованиями 3.10,2) (n = 4); 3.12 переводится в плос-
кость с разрезом по лучу [−5/4, +∞) ∈ R при этом образом луча [i , ∞]
будет луч [1, +∞) ∈ R на нижнем берегу разреза. Последующие шаги
провести самостоятельно.
     3.27 w(z) = [(cos(π/z) − ch (π/h))/(cos(π/z) − 1)]1/2 , где ветвь фикси-

                                        33