Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

эллипсом 16u
2
/25 + 16v
2
/9 = 1 и ветвями гиперболы u
2
− v
2
= 1/2.
Указание. w = (z + 1/z)/2 ⇒ u = Re w = (r + 1/r) cos ϕ/2, v = Im w =
(r − 1/r) sin ϕ/2, (r = |z|, ϕ = arg z).
3.13 а) 1) Внутренность единичного круга; 2) внутренность единич-
ного круга в нижней полуплоскости; 3) нижняя полуплоскость; б) 1)
внешность единичного круга; 2) внешность единичного круга в верхней
полуплоскости; 3) верхняя полуплоскость.
3.14 (z
2
+ h
2
)
1/2
.
Указание. Совершить последовательно 3.10,2) (n = 2); 2.38 (b = h
2
);
3.11,а).
3.15
©
[(z − 1)/(z + 1)]
2
+ tg
2
(α/2)
ª
1/2
.
Указание. Совершить преобразования 3.6,б); 3.14 (h = tg α/2).
3.16 [th
2
(z/ 2) + 1]
1/2
.
Указание. Совершить преобразования 3.8; 3.15 (α = π/2).
3.17 [(z
2
+ h
2
2
)/(z
2
+ h
2
1
)]
1/2
.
Указание. Совершить преобразования 3.10,2) (n = 2); 3.7 (a = −h
2
2
,
b = −h
2
1
); 3.11,а).
3.18 −ch z.
Указание. Совершить преобразования 3.8; 3.12; 2.35 (α = π).
3.19 [(ch z + ch x
0
)/(ch z + 1)]
1/2
.
Указание. Совершить последовательно преобразования 3.8; 3.12; 3.7
(a = −ch x
0
, b = −1; 3.11 а).
3.20
£
(e
2i π/z
− e
−2π
)/(e
2i π/z
− e
2π
)
¤
1/2
.
Указание. Совершить последовательно преобразования 3.6,а); 2.37 (a =
2i π); 3.8; 3.7 (a = e
−2π
, b = e
2π
); 3.11,а).
3.21
£
2sh (3π/2z)/(2sh (3π/2z) + i
√
2)
¤
1/2
.
Указание. Совершить преобразования 3.6,а); 2.38 (b = i ); 2.36 (k =
3π/2); 3.8; 3.12; 3.7 (a = 0, b = −
√
2/2); 3.11,а).
3.22 1, 5Ln
£
(z −
√
3)/(z +
√
3)
¤
+ i π.
Указание. Совершить последовательно преобразования 3.7 (a =
√
3, b=
−
√
3); 2.35 (α=−2π/3); 3.10 1) (α=2π/3, β =π); 3.9 а).
3.23 w = e
i θ
(ζ(z) − a)/(ζ(z) − a), где θ ∈ R, Im a > 0, а ζ(z) =
[z − i )/(z + i )]
4
Указание. Совершить преобразования 3.7, где положить a = i , b = −i ;
3.10,2) (n = 4); 3.5,1).
3.24 w(z) = [(z
4
+ 1)
1/2
+ 1]
1/2
, где ветвь внутреннего радикала фик-
сируется равной единице в точке z = 0 ∈ R
+
x
∩ [0, e
i π/4
] , а внешний при
32
эллипсом 16u2 /25 + 16v 2 /9 = 1 и ветвями гиперболы u2 − v 2 = 1/2.
Указание. w = (z + 1/z)/2 ⇒ u = Re w = (r + 1/r) cos ϕ/2, v = Im w =
(r − 1/r) sin ϕ/2, (r = |z|, ϕ = arg z).
    3.13 а) 1) Внутренность единичного круга; 2) внутренность единич-
ного круга в нижней полуплоскости; 3) нижняя полуплоскость; б) 1)
внешность единичного круга; 2) внешность единичного круга в верхней
полуплоскости; 3) верхняя полуплоскость.
    3.14 (z 2 + h2 )1/2 .
Указание. Совершить последовательно 3.10,2) (n = 2); 2.38 (b = h2 );
3.11,а).
          ©                                 ª1/2
    3.15 [(z − 1)/(z + 1)]2 + tg2 (α/2)           .
Указание. Совершить преобразования 3.6,б); 3.14 (h = tg α/2).
    3.16 [th2 (z/2) + 1]1/2 .
Указание. Совершить преобразования 3.8; 3.15 (α = π/2).
                                    1/2
    3.17 [(z 2 + h22 )/(z 2 + h21 )] .
Указание. Совершить преобразования 3.10,2) (n = 2); 3.7 (a = −h22 ,
b = −h21 ); 3.11,а).
    3.18 −ch z.
Указание. Совершить преобразования 3.8; 3.12; 2.35 (α = π).
    3.19 [(ch z + ch x0 )/(ch z + 1)]1/2 .
Указание. Совершить последовательно преобразования 3.8; 3.12; 3.7
(a = −ch x0 , b = −1; 3.11 а).
          £                                ¤1/2
    3.20 (e2i π/z − e−2π )/(e2i π/z − e2π )     .
Указание. Совершить последовательно преобразования 3.6,а); 2.37 (a =
2i π); 3.8; 3.7 (a = e−2π , b = e2π ); 3.11,а).
          £                                 √ ¤1/2
    3.21 2sh (3π/2z)/(2sh (3π/2z) + i 2)               .
Указание. Совершить преобразования      √           3.6,а); 2.38 (b = i ); 2.36 (k =
3π/2); 3.8; 3.12;£ 3.7 (a√= 0, b =√− ¤2/2); 3.11,а).
    3.22 1, 5Ln (z − 3)/(z + 3) + i π.
                                                                                   √
Указание.
  √            Совершить     последовательно       преобразования         3.7 (a =   3, b =
− 3); 2.35 (α = −2π/3); 3.10 1) (α = 2π/3, β = π); 3.9 а).
    3.23 w = ei θ (ζ(z) − a)/(ζ(z) − a), где θ ∈ R, Im a > 0, а ζ(z) =
[z − i )/(z + i )]4
Указание. Совершить преобразования 3.7, где положить a = i , b = −i ;
3.10,2) (n = 4); 3.5,1).
    3.24 w(z) = [(z 4 + 1)1/2 + 1]1/2 , где ветвь внутреннего радикала фик-
сируется равной единице в точке z = 0 ∈ R+             x ∩ [0, e
                                                                i π/4
                                                                      ] , а внешний при

                                            32

Страницы