Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

[0, i h], h > 0.
3.28 Полосу −π < Im z < π, разрезанную вдоль отрезка [−i h, i h]
(0 < h < π) и R
+
x
.
3.29 Полуполоса −π < Im z < π, −∞ < Re z < 0 с разрезами
[−∞, −h
1
] по R
−
x
, [−h
2
+ i π/2, i π/2], [−h
2
−i π/2, −i π/2] (h
1
>0, h
2
>0).
Ответы, указания и решения
3.1 w = w
1
+ (z −z
1
)(w
2
− w
1
)/(z
2
− z
1
).
Указание. Параметры a, b искомого отображения w = az + b определя-
ются из системы w
k
= az
k
+ b, k = 1, 2.
3.2 w = (az + b)/(cz + d), a, b, c, d ∈ R, 1) ad − bc > 0; 2) ad − bc < 0.
Решение. В силу принципа соответствия границ искомое конформное
преобразование w = w(z) отображает вещественную ось на себя. Вы-
берем на вещественной оси по три различных произвольных точки w
k
и z
k
, k = 1, 2, 3, играющие роль образов и прообразов соответственно
(w(z
k
) = w
k
). На основании свойства инвариантности ангармонического
отношения получим
w − w
1
w − w
2
w
3
− w
2
w
3
− w
1
=
z − z
1
z − z
2
z
3
− z
2
z
3
− z
1
,
(если w
k
= ∞ или z
j
= ∞, то соответствующая дробь в ангармониче-
ском отношении заменяется единицей). Разрешая выписанное равенство
относительно w, получим дробно-линейное преобразование с веществен-
ными коэффициентами a, b, c, d. Верхняя полуплоскость при получен-
ном преобразовании будет переходить в себя или в нижнюю полуплос-
кость, если соответственно потребовать, чтобы угол поворота (arg w
0
(x))
в точках вещественной оси был нулевым или равнялся π. Поскольку
w
0
(x) = (ad − bc)/(cx + d)
2
, то, соответственно, должно быть ad − bc > 0
в случае 1) и ad − bc < 0 в случае 2).
3.3 1) w = k(z − β)/(z − α); 2) w = k(z − α)(z − β), k ∈ R, k > 0.
Решение. Выписанные преобразования переводят вещественную ось на
себя с соблюдением указанного в задаче требования: образами точек α
или β являются точки 0 или ∞, при этом в силу выбора знака у множи-
теля k множество R\[α, β] переходит в R
+
x
(точка этого множества z = ∞
переходит в точку w = k > 0). Выбор преобразования определяется со-
ображениями, указанными в задаче 3.2.
3.4 Решение. Первый способ. В силу кругового свойства дробно-
линейного преобразования образом γ является прямая, если прообраз
29
[0, i h], h > 0.
     3.28 Полосу −π < Im z < π, разрезанную вдоль отрезка [−i h, i h]
(0 < h < π) и R+ x.
     3.29 Полуполоса −π < Im z < π, −∞ < Re z < 0 с разрезами
[−∞, −h1 ] по R− x , [−h2 + i π/2, i π/2], [−h2 −i π/2, −i π/2] (h1 > 0, h2 > 0).

   Ответы, указания и решения
   3.1 w = w1 + (z − z1 )(w2 − w1 )/(z2 − z1 ).
Указание. Параметры a, b искомого отображения w = az + b определя-
ются из системы wk = azk + b, k = 1, 2.
   3.2 w = (az + b)/(cz + d), a, b, c, d ∈ R, 1) ad − bc > 0; 2) ad − bc < 0.
Решение. В силу принципа соответствия границ искомое конформное
преобразование w = w(z) отображает вещественную ось на себя. Вы-
берем на вещественной оси по три различных произвольных точки wk
и zk , k = 1, 2, 3, играющие роль образов и прообразов соответственно
(w(zk ) = wk ). На основании свойства инвариантности ангармонического
отношения получим
                      w − w1 w3 − w2      z − z1 z3 − z2
                                        =                ,
                      w − w2 w3 − w1      z − z2 z3 − z1
(если wk = ∞ или zj = ∞, то соответствующая дробь в ангармониче-
ском отношении заменяется единицей). Разрешая выписанное равенство
относительно w, получим дробно-линейное преобразование с веществен-
ными коэффициентами a, b, c, d. Верхняя полуплоскость при получен-
ном преобразовании будет переходить в себя или в нижнюю полуплос-
кость, если соответственно потребовать, чтобы угол поворота (arg w0 (x))
в точках вещественной оси был нулевым или равнялся π. Поскольку
w0 (x) = (ad − bc)/(cx + d)2 , то, соответственно, должно быть ad − bc > 0
в случае 1) и ad − bc < 0 в случае 2).
    3.3 1) w = k(z − β)/(z − α); 2) w = k(z − α)(z − β), k ∈ R, k > 0.
Решение. Выписанные преобразования переводят вещественную ось на
себя с соблюдением указанного в задаче требования: образами точек α
или β являются точки 0 или ∞, при этом в силу выбора знака у множи-
теля k множество R\[α, β] переходит в R+    x (точка этого множества z = ∞
переходит в точку w = k > 0). Выбор преобразования определяется со-
ображениями, указанными в задаче 3.2.
    3.4 Решение. Первый способ. В силу кругового свойства дробно-
линейного преобразования образом γ является прямая, если прообраз

                                       29

Страницы