Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 26 стр.

где звездочка над аргументом – симметрия относительно L, а над
функцией – симметрия относительно Γ.
   Чтобы овладеть практикой конформных отображений, следует твер-
до знать свойства основных элементарных функций: дробно-линейной,
показательной, степенной, логарифмической, функции Жуковского и об-
ратной к ней, а также некоторые простейшие отображения, осуществля-
емые этими функциями (см. например [1], [2], [4]). Кроме того, важно
знать и уметь применять основные принципы и понятия теории кон-
формных отображений (принцип соответствия границ, принцип сохра-
нения области, геометрический смысл модуля и аргумента производной
голоморфной функции, принцип симметрии и т.д.). При этом рациональ-
ная техника конформных отображений состоит, как правило, в умении
представить искомое отображение в виде суперпозиции некоторых эле-
ментарных – “табличных” отображений (к последним условно можно от-
нести преобразования, которые будут получены при решении задач 3.1 -
3.13).
   При построении отображений методом симметрии обычно непосред-
ственно аналитическое продолжение не осуществляют, а пользуясь фак-
том его существования и единственности, показывают, что построенная
функция определена и в симметричной половине области, а, значит, сов-
падает со своим аналитическим продолжением.



    3.1 Найти целую линейную функцию w = az + b, a, b ∈ C, переводя-
щую отрезок [z1 , z2 ] в отрезок [w1 , w2 ] (zi , wi ∈ C, i = 1, 2).
    3.2 Записать общий вид дробно-линейного преобразования, переводя-
щего верхнюю полуплоскость 1) на себя; 2) на нижнюю полуплоскость.
    3.3 Записать дробно-линейное преобразование, переводящее верхнюю
полуплоскость 1) на себя; 2) на нижнюю полуплоскость так, чтобы от-
резок [α, β] (−∞ < α < β < ∞) вещественной оси перешел в R−          x.
    3.4 Пусть γ – произвольная прямая или окружность. Найти ее образ
при дробно-линейном преобразовании w = (az + b)/(cz + d), a, b, c, d ∈ C,
ad − bc 6= 0.
    3.5 Найти общий вид дробно-линейного преобразования, переводяще-
го верхнюю полуплоскость на 1) внутренность; 2) внешность единичного
круга.
    3.6 Выяснить, во что преобразуют отображения а) w = 1/z, б) w =

                                   26