Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

для определения B =z
1
−z
0
квадратное уравнение. Нормировать B.
2)Re {(z
0
− a)(z − a)} = 0.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.16 1).
2.31
z
0
=
∆
1
∆
, ∆ =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
z
1
z
2
z
3
z
1
z
2
z
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, ∆
1
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
z
1
z
2
z
3
|z
1
|
2
|z
2
|
2
|z
3
|
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Решение. Имеем (z
i
−z
0
)(z
i
−z
0
) = r
2
, i = 1, 2, 3, где r – радиус окруж-
ности. Это приводит нас к линейной системе z
i
z
0
+ z
i
z
0
+ r
2
−|z
0
|
2
= |z
i
|
2
,
i = 1 , 2, 3 относительно z
0
, z
0
, r
2
− |z
0
|
2
.
2.32 z
∗
= z
0
+ r
2
/(z − z
0
), Az
∗
z + Bz
∗
+ Bz + C = 0.
Решение. Пусть z
∗
– точка симметричная точке z относительно окруж-
ности |z − z
0
| = r. Тогда по определению
|z
∗
− z
0
||z − z
0
| = r
2
, arg(z
∗
− z
0
) = arg(z − z
0
),
что равносильно условию (z
∗
− z
0
)(z − z
0
) = r
2
. Отметим полезное для
дальнейшего следствие: z
∗
= ∞ при z = z
0
. Учитывая, что уравнение
окружности из задачи 2.7 может быть записано в виде (z−z
0
)(z−z
0
) = r
2
,
получаем простое правило для нахождения симметричных точек: чтобы
определить точку z
∗
, симметричную точке z относительно окружности,
нужно в уравнении окружности, записанном в переменных z и z, заме-
нить z на z
∗
.
2.33 Bz
∗
+ Bz + C = 0.
Указание. Уравнение прямой можно рассматривать как частный слу-
чай уравнения окружности при A = 0, поэтому симметричные точки
могут быть получены по тому же правилу (см. предыдущую задачу).
Убедиться, что |z
∗
− w| = |z − w| для любой точки w, лежащей на пря-
мой.
2.34 z
∗
= e
2αi
z – симметрия относительно действительной оси (z
1
=
z) и поворот на угол 2α вокруг начала координат (z
∗
= e
2αi
z
1
).
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
2.35 Если α
2
−α
1
= α/2, то прямые Im {e
−i α
1
z} = 0, Im {e
−i α
2
z} = 0,
искомые. Поворот на угол α вокруг начала координат.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
2.36 Если r
2
2
/r
2
1
= k, то окружности |z| = r
1
, |z| = r
2
искомые. Растя-
жение (гомотетия) в k - раз с центром гомотетии в точке z = 0.
23
для определения B = z1 −z0 квадратное уравнение. Нормировать B.
2)Re {(z0 − a)(z − a)} = 0.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.16 1).
   2.31
                        ¯          ¯         ¯                      ¯
                        ¯ 1 1 1 ¯            ¯ 1        1      1    ¯
             ∆1         ¯          ¯         ¯                      ¯
       z0 =     , ∆ = ¯¯ z1 z2 z3 ¯¯ , ∆1 = ¯¯ z1      z2     z3 ¯¯ .
             ∆          ¯ z1 z2 z3 ¯         ¯ |z1 |2 |z2 |2 |z3 |2 ¯

Решение. Имеем (zi − z0 )(zi − z0 ) = r2 , i = 1, 2, 3, где r – радиус окруж-
ности. Это приводит нас к линейной системе zi z0 + zi z0 + r2 − |z0 |2 = |zi |2 ,
i = 1, 2, 3 относительно z0 , z0 , r2 − |z0 |2 .
   2.32 z ∗ = z0 + r2 /(z − z0 ), Az ∗ z + Bz ∗ + Bz + C = 0.
Решение. Пусть z ∗ – точка симметричная точке z относительно окруж-
ности |z − z0 | = r. Тогда по определению

             |z ∗ − z0 ||z − z0 | = r2 ,   arg(z ∗ − z0 ) = arg(z − z0 ),

что равносильно условию (z ∗ − z0 )(z − z0 ) = r2 . Отметим полезное для
дальнейшего следствие: z ∗ = ∞ при z = z0 . Учитывая, что уравнение
окружности из задачи 2.7 может быть записано в виде (z−z0 )(z−z0 ) = r2 ,
получаем простое правило для нахождения симметричных точек: чтобы
определить точку z ∗ , симметричную точке z относительно окружности,
нужно в уравнении окружности, записанном в переменных z и z, заме-
нить z на z ∗ .
   2.33 Bz ∗ + Bz + C = 0.
Указание. Уравнение прямой можно рассматривать как частный слу-
чай уравнения окружности при A = 0, поэтому симметричные точки
могут быть получены по тому же правилу (см. предыдущую задачу).
Убедиться, что |z ∗ − w| = |z − w| для любой точки w, лежащей на пря-
мой.
   2.34 z ∗ = e2αi z – симметрия относительно действительной оси (z1 =
z) и поворот на угол 2α вокруг начала координат (z ∗ = e2αi z1 ).
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
   2.35 Если α2 − α1 = α/2, то прямые Im {e−i α1 z} = 0, Im {e−i α2 z} = 0,
искомые. Поворот на угол α вокруг начала координат.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
   2.36 Если r22 /r12 = k, то окружности |z| = r1 , |z| = r2 искомые. Растя-
жение (гомотетия) в k - раз с центром гомотетии в точке z = 0.

                                           23

Страницы