Введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи. Киясов С.Н - 17 стр.

     2.24 Найти точку пересечения двух прямых, проходящих через точки
z1 , z2 и z3 , z4 соответственно.
     2.25 Найти ортоцентр треугольника с вершинами в точках z1 , z2 и z3 .
     2.26 Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точ-
ке и делятся ею в отношении 2:1.
     2.27 Определить г.м.т., для которых числа 1) 1, z, 1 + z 2 ; 2) z, z 2 , z 4
лежат на одной прямой.
     2.28 Найти точки пересечения прямой, соединяющей точки a, b ∈ C
(a 6= b) с линией |(z − a)/(z − b)| = k.
     2.29 Пусть z1 , z2 – корни уравнения z 2 − 2az − 2(1 + i ) = 0. При
каком значении параметра a прямая, проходящая через эти точки, имеет
угловой коэффициент, равный единице?
     2.30 Найти прямую, проходящую через точку a ∈ C, касающуюся
окружности γ : |z − z0 | = r, если 1) a ∈ out γ; 2)a ∈ γ.
     2.31 Найти центр z0 окружности, описанной около треугольника с
вершинами z1 , z2 , z3 .
     2.32 Определить точку z ∗ , симметричную точке z относительно
окружностей из задач 2.1 1 и 2.7.
     2.33 Определить точку z ∗ , симметричную точке z относительно пря-
мой из задачи 2.8. Убедиться, что полученное условие симметрии оправ-
дано геометрически.
     2.34 Получить условие симметричности двух точек относительно
прямой Im{e−i α z} = 0. Выяснить его геометрический смысл.
     2.35 Показать, что преобразование w = ei α z равносильно композиции
двух симметрий относительно двух прямых, проходящих через начало
координат. Найти эти прямые. Выяснить геометрический смысл преоб-
разования.
     2.36 Показать, что преобразование w = kz (k > 0) представимо в
виде композиции двух симметрий относительно двух окружностей с цен-
тром в z = 0. Найти эти окружности. Выяснить геометрический смысл
преобразования.
     2.37 Показать, что преобразование w = az (a ∈ C) представимо в
виде композиции четырех симметрий относительно двух окружностей с
центром в z = 0 и двух прямых, проходящих через z = 0. Выяснить
геометрический смысл преобразования.
     2.38 Показать, что преобразование w = z + b (b ∈ C) представи-
мо в виде композиции двух симметрий относительно двух параллельных


                                       17