Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

где «. . .» обозначает аналогичные вариационные слагаемые, но для
функций ϕ
α
i
(r
i
). Меняя порядок суммирования в последней строчке
соотношения (2.48), получим:
δ
˜
J =
N
X
i=1
Z
δϕ
∗
α
i
(r
i
)
ˆ
h(r
i
) + e
2
N
X
j6=i
Z
ϕ
∗
α
j
(r
j
)
1
r
ij
ϕ
α
j
(r
j
) d
3
r
j
−
− ε
i
#
ϕ
α
i
(r
i
)
)
d
3
r
i
+ . . . = 0. (2.49)
Для того чтобы вариация δ
˜
J обращалась в нуль при произвольных ва-
риациях функций ϕ
α
i
(r
i
), необходимо и достаточно обращения в нуль
выражения в фигурных скобках в (2.49):
ˆ
h(r
i
) + e
2
N
X
j6=i
Z
|ϕ
α
j
(r
j
)|
2
|r
i
− r
j
|
d
3
r
j
ϕ
α
i
(r
i
) = ε
i
ϕ
α
i
(r
i
), i = 1, . . . , N.
(2.50)
Уравнения (2.50) называются уравнениями Хартри. Особенностью
уравнений Хартри является их нелинейность относительно функций
ϕ
α
i
(r
i
). Интересно отметить, что общее уравнение Шредингера на
функцию Ψ(ξ) является тем не менее линейным. Система (2.50) пред-
ставляет собой систему N нелинейных интегро-дифференциальных
уравнений, которая может быть решена лишь приближенно. С хорошей
точностью такое решение может быть получено с помощью следующей
итерационной схемы, позволяющей свести задачу к решению системы
линейных дифференциальных уравнений. В качестве начальных функ-
ций ϕ
α
i
(r
i
) (функций «нулевого приближения») выбираются решения
уравнения
ˆ
h(r
i
)ϕ
(0)
α
i
(r
i
) = ε
(0)
i
ϕ
(0)
α
i
(r
i
), i = 1, . . . , N. (2.51)
Затем с помощью функций ϕ
(0)
α
i
(r
i
) вычисляется член, определяющий
взаимодействие между электронами:
V
(0)
(r
i
) = e
2
N
X
j6=i
Z
|ϕ
(0)
α
j
(r
j
)|
2
|r
i
− r
j
|
d
3
r
j
, (2.52)
после чего находится решение «линеаризованного» уравнения:
[
ˆ
h(r
i
) + V
(0)
(r
i
)]ϕ
(1)
α
i
(r
i
) = ε
(1)
i
ϕ
(1)
α
i
(r
i
), i = 1, . . . , N. (2.53)
Далее аналогичные действия выполняются с функцией ϕ
(1)
α
i
(r
i
) и т. д.
46
где «. . .» обозначает аналогичные вариационные слагаемые, но для
функций ϕαi (r i ). Меняя порядок суммирования в последней строчке
соотношения (2.48), получим:
                            
           N Z
           X                                XN Z
                                                                 1
  δ J˜ =         δϕαi (r i ) ĥ(r i ) + e
                   ∗                       2
                                                    ϕ∗αj (r j )     ϕαj (r j ) d3 rj −
                                                               rij
           i=1                               j6=i
                                                  #          )
                                                      − εi ϕαi (r i ) d3 ri + . . . = 0.   (2.49)


Для того чтобы вариация δ J˜ обращалась в нуль при произвольных ва-
риациях функций ϕαi (r i ), необходимо и достаточно обращения в нуль
выражения в фигурных скобках в (2.49):
                                      
                 N Z
                  X |ϕαj (r j )|2      
                2                   3
   ĥ(r i ) + e                    d rj ϕαi (r i ) = εi ϕαi (r i ), i = 1, . . . , N.
                     |r i − r j |     
                 j6=i
                                                                       (2.50)
    Уравнения (2.50) называются уравнениями Хартри. Особенностью
уравнений Хартри является их нелинейность относительно функций
ϕαi (r i ). Интересно отметить, что общее уравнение Шредингера на
функцию Ψ(ξ) является тем не менее линейным. Система (2.50) пред-
ставляет собой систему N нелинейных интегро-дифференциальных
уравнений, которая может быть решена лишь приближенно. С хорошей
точностью такое решение может быть получено с помощью следующей
итерационной схемы, позволяющей свести задачу к решению системы
линейных дифференциальных уравнений. В качестве начальных функ-
ций ϕαi (r i ) (функций «нулевого приближения») выбираются решения
уравнения
                                       (0) (0)
                 ĥ(r i )ϕ(0)
                          αi (r i ) = εi ϕαi (r i ), i = 1, . . . , N. (2.51)
                                          (0)
Затем с помощью функций ϕαi (r i ) вычисляется член, определяющий
взаимодействие между электронами:
                                             N Z
                                             X     (0)
                            (0)           2      |ϕαj (r j )|2 3
                        V         (r i ) = e                   d rj ,                      (2.52)
                                                  |r i − r j |
                                              j6=i

после чего находится решение «линеаризованного» уравнения:
                                                 (1)
       [ĥ(r i ) + V (0) (r i )]ϕ(1)             (1)
                                 αi (r i ) = εi ϕαi (r i ),         i = 1, . . . , N.      (2.53)
                                                                                   (1)
Далее аналогичные действия выполняются с функцией ϕαi (r i ) и т. д.

                                                     46

Страницы