Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

шести слагаемых. Поэтому замкнутое аналитическое решение соответству-
ющего стационарного уравнения Шредингера невозможно. Для упрощения
задачи используется так называемое адиабатическое приближение (или при-
ближение Борна–Оппенгеймера). Данное приближение основано на большом
различии между массами протона и электрона (примерно в 2000 раз), что
позволяет рассматривать электроны в поле неподвижных протонов. Элек-
тронный гамильтониан в приближении Борна–Оппенгеймера имеет вид:
ˆ
H
0
= −
}
2
2µ
∇
2
1
−
}
2
2µ
∇
2
2
−
e
2
r
1A
−
e
2
r
2B
−
e
2
r
1B
−
e
2
r
2A
+
e
2
r
12
, (2.61)
где ∇
1,2
≡
∂
∂r
1,2
(см. также рис. 2.6).
+
_
r
1 2
r
2A
r
1B
r
2B
r
1A
R
A
B
1
2
+
_
Рис. 2.6.
В рассматриваемой модели молекула водорода отличается от атома ге-
лия двумя кулоновскими силовыми центрами вместо одного. Эти центры
находятся на расстоянии R. Поэтому решение уравнения Шредингера с га-
мильтонианом (2.61) будет параметрически зависеть от R. Исследуем зави-
симость энергии основного состояния молекулы водорода от расстояния R,
с помощью методов теории возмущений, выбрав в качестве невозмущенной
системы два невзаимодействующих атома водорода в основных состояниях.
По аналогии с атомом гелия двухэлектронные конфигурации будут соот-
ветствовать пара- либо ортоводороду. В атоме гелия основное состояние со-
ответствует только парагелию. В молекуле же водорода основное состояние
может быть как пара-, так и ортосостоянием из-за наличия двух кулонов-
ских центров. Невозмущенные волновые функции строятся из водородных с
учетом симметризации. Для координатных частей имеем:
Ψ
±
(r
1
, r
2
) = C{ψ(r
1A
)ψ(r
2B
) ± ψ(r
2A
)ψ(r
1B
)}. (2.62)
Здесь
ψ(r) = (πa
3
0
)
−1/2
e
−r/a
0
— волновая функция основного состояния атома водорода; C — нормиро-
вочная константа. Предлагаем самостоятельно получить ее явный вид:
54
шести слагаемых. Поэтому замкнутое аналитическое решение соответству-
ющего стационарного уравнения Шредингера невозможно. Для упрощения
задачи используется так называемое адиабатическое приближение (или при-
ближение Борна–Оппенгеймера). Данное приближение основано на большом
различии между массами протона и электрона (примерно в 2000 раз), что
позволяет рассматривать электроны в поле неподвижных протонов. Элек-
тронный гамильтониан в приближении Борна–Оппенгеймера имеет вид:

               }2 2  }2 2     e2    e2    e2    e2   e2
        Ĥ0 = − ∇1 −    ∇2 −     −     −     −     +     ,                  (2.61)
               2µ    2µ      r1A   r2B   r1B   r2A   r12
              ∂
где ∇1,2 ≡          (см. также рис. 2.6).
             ∂r 1,2

                                1_                 r1 2         _2


                          r1A                                        r2B
                                     r2A                  r1B

                          +                     R
                                                                     +B
                      A

                                           Рис. 2.6.

   В рассматриваемой модели молекула водорода отличается от атома ге-
лия двумя кулоновскими силовыми центрами вместо одного. Эти центры
находятся на расстоянии R. Поэтому решение уравнения Шредингера с га-
мильтонианом (2.61) будет параметрически зависеть от R. Исследуем зави-
симость энергии основного состояния молекулы водорода от расстояния R,
с помощью методов теории возмущений, выбрав в качестве невозмущенной
системы два невзаимодействующих атома водорода в основных состояниях.
   По аналогии с атомом гелия двухэлектронные конфигурации будут соот-
ветствовать пара- либо ортоводороду. В атоме гелия основное состояние со-
ответствует только парагелию. В молекуле же водорода основное состояние
может быть как пара-, так и ортосостоянием из-за наличия двух кулонов-
ских центров. Невозмущенные волновые функции строятся из водородных с
учетом симметризации. Для координатных частей имеем:

                Ψ± (r 1 , r 2 ) = C{ψ(r 1A )ψ(r 2B ) ± ψ(r 2A )ψ(r 1B )}.   (2.62)

Здесь
                                ψ(r) = (πa30 )−1/2 e−r/a0
 — волновая функция основного состояния атома водорода; C — нормиро-
вочная константа. Предлагаем самостоятельно получить ее явный вид:



                                              54

Страницы