Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

прочих равных условиях (например, заданных r и t) проекция спи-
на электрона на любое выделенное направление n может принимать
два различных значения: ±}/2. Поэтому при учете спина квантовое со-
стояние электрона должно описываться двумя функциями координат
и времени (например, ψ
1
и ψ
2
), соответствующими двум возможным
проекциям спина на направление n. Эти функции по-прежнему мо-
гут изображаться с помощью волновой функции Ψ(r, σ; t), в которой,
однако, аргумент дополнен дискретной спиновой переменной σ, отвеча-
ющей спиновой степени свободы и принимающей два значения, одному
из которых соответствует Ψ = ψ
1
, а другому Ψ = ψ
2
. Указанный спо-
соб описания спиновой зависимости волновых функций, связанный с
выбором произвольного направления квантования спина n и соответ-
ствующей спиновой переменной σ, можно назвать σ-представлением.
Обычно направление n выбирается вдоль оси Oz системы координат,
в которой задана функция Ψ(x, y, z, σ; t). В этом случае σ = s
z
= ±}/2,
что соответствует наиболее часто используемому s
z
-представлению
5
.
Итак, в s
z
-представлении волновая функция частицы со спином может
быть записана одним из следующих способов:
Ψ(r, s
z
; t) =
Ψ(r, s
z
= +
}
2
; t)
Ψ(r, s
z
= −
}
2
; t)
!
=
ψ
1
(r; t)
ψ
2
(r; t)
!
. (1.13)
Теперь уже условие нормировки, кроме интегрирования по простран-
ственным переменным, должно включать и суммирование по двум воз-
можным значениям спиновой переменной:
X
s
z
=±
}
2
Z
|Ψ(r, s
z
; t)|
2
d
3
r =
X
λ=1,2
Z
|ψ
λ
(r, t)|
2
d
3
r = 1. (1.14)
Каждое из слагаемых в (1.14) есть вероятность обнаружения элек-
трона в состоянии с соответствующим значением s
z
. Волновую
функцию (1.13) можно понимать и как двухкомпонентный кет-вектор
|Ψi =
|ψ
1
i
|ψ
2
i
!
. Соответствующий бра-вектор hΨ| должен быть опреде-
лен так, чтобы выполнялось условие (1.14), т. е. hΨ|Ψi = 1. Поэтому он
является эрмитово сопряженной по отношению к (1.13) матрицей:
hΨ| = Ψ
†
=
ψ
∗
1
ψ
∗
2
=
hψ
1
| hψ
2
|
. (1.15)
5
Можно сказать, что σ-представление «спиновой части» Ψ(x, y, z, σ, t) соот-
ветствует F
n
-представлению волновой функции бесспиновой частицы с гамиль-
тонианом
ˆ
H (где
ˆ
F — некий эрмитов оператор с дискретным спектром), а s
z
-
представление — случаю
ˆ
F =
ˆ
H.
11
прочих равных условиях (например, заданных r и t) проекция спи-
на электрона на любое выделенное направление n может принимать
два различных значения: ±}/2. Поэтому при учете спина квантовое со-
стояние электрона должно описываться двумя функциями координат
и времени (например, ψ1 и ψ2 ), соответствующими двум возможным
проекциям спина на направление n. Эти функции по-прежнему мо-
гут изображаться с помощью волновой функции Ψ(r, σ; t), в которой,
однако, аргумент дополнен дискретной спиновой переменной σ, отвеча-
ющей спиновой степени свободы и принимающей два значения, одному
из которых соответствует Ψ = ψ1 , а другому Ψ = ψ2 . Указанный спо-
соб описания спиновой зависимости волновых функций, связанный с
выбором произвольного направления квантования спина n и соответ-
ствующей спиновой переменной σ, можно назвать σ-представлением.
Обычно направление n выбирается вдоль оси Oz системы координат,
в которой задана функция Ψ(x, y, z, σ; t). В этом случае σ = sz = ±}/2,
что соответствует наиболее часто используемому sz -представлению 5 .
Итак, в sz -представлении волновая функция частицы со спином может
быть записана одним из следующих способов:
                                                 !             !
                             Ψ(r, sz = + }2 ; t)     ψ1 (r; t)
              Ψ(r, sz ; t) =                       =             . (1.13)
                             Ψ(r, sz = − }2 ; t)     ψ2 (r; t)
Теперь уже условие нормировки, кроме интегрирования по простран-
ственным переменным, должно включать и суммирование по двум воз-
можным значениям спиновой переменной:
        X Z                        X Z
                            2 3
              |Ψ(r, sz ; t)| d r =     |ψλ (r, t)|2 d3 r = 1. (1.14)
        sz =± }                      λ=1,2
              2


Каждое из слагаемых в (1.14) есть вероятность обнаружения элек-
трона в состоянии с соответствующим значением sz . Волновую
функцию (1.13)
          ! можно понимать и как двухкомпонентный кет-вектор
         |ψ1 i
|Ψi =             . Соответствующий бра-вектор hΨ| должен быть опреде-
        |ψ2 i
лен так, чтобы выполнялось условие (1.14), т. е. hΨ| Ψi = 1. Поэтому он
является эрмитово сопряженной по отношению к (1.13) матрицей:
                                                  
                       †     ∗   ∗
                hΨ| = Ψ = ψ1 ψ2 = hψ1 | hψ2 | .                   (1.15)
  5 Можно  сказать, что σ-представление «спиновой части» Ψ(x, y, z, σ, t) соот-
ветствует Fn -представлению волновой функции бесспиновой частицы с гамиль-
тонианом Ĥ (где F̂ — некий эрмитов оператор с дискретным спектром), а sz -
представление — случаю F̂ = Ĥ.


                                      11

Страницы