Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 12 стр.

    Поскольку волновая функция со спином имеет вид двумерного
столбца, общая структура всех операторов, действующих в простран-
стве функций (1.13), такова:
                              !         !                                     !
            F̂11 (r) F̂12 (r)    ψ1 (r)       F̂11 (r)ψ1 (r) + F̂12 (r)ψ2 (r)
   F̂ Ψ =                                 =                                     ,
            F̂21 (r) F̂22 (r)    ψ2 (r)       F̂21 (r)ψ1 (r) + F̂22 (r)ψ2 (r)
                                                                            (1.16)
где F̂ij (r) — оператор, действующий только на r, но не на sz . Если
F̂ не действует на спиновую переменную, он умножается на единич-
ную матрицу, например, p̂ = −i}∇ 1̂. Если учесть определение (1.15),
выражение для матричного элемента hΦ| F̂ |Ψi очевидно.
    Часто характер движения электрона в координатном пространстве
не зависит от ориентации его спина (т. е. в гамильтониан Ĥ не вхо-
дят операторы спина). В этом случае пространственная зависимость
двухкомпонентной волновой функции Ψ(r, σ; t) описывается всего од-
ной функцией Ψ(r, t), являющейся решением уравнения Шредингера с
гамильтонианом Ĥ. Поэтому спиновая и пространственная переменные
в Ψ(r, σ; t) разделяются и она записывается в виде произведения (ср. с
(1.13)):
                            Ψ(r, σ; t) = Φ(r, t)χ(σ).                       (1.17)
Не зависящая от координат спиновая часть χ(σ) волновой функции в
общем случае представляет собой двухкомпонентный столбец
                                      !
                                   a
                           χ(σ) =                          (1.18)
                                    b

с отличными от нуля обеими компонентами (комплексными числами)
a и b. Он называется спинором. Соответствующий χ бра-вектор полу-
чается эрмитовым сопряжением:
                                         
                               †    ∗
                        hχ| = χ = a b . ∗                   (1.19)

Условие нормировки спинора дает одно соотношение между a и b:

                               hχ| χi = |a|2 + |b|2 = 1,                   (1.20)

так что в самом общем виде спинор задается тремя вещественными
параметрами6 .
   Оператор общего вида, действующий в пространстве спиноров, име-
ет вид матрицы 2 × 2 с ненулевыми элементами (комплексными чис-
лами). Действие такого оператора на спинор определяется правилом
  6 Например,   a = exp(iα) sin δ, b = exp(iβ) cos δ.


                                            12