Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

и в гамильтониан необходимо добавить слагаемое, учитывающее энер-
гию магнитного диполя в поле B:
∆V = −µB.
Оператор этой энергии, в соответствии с (1.24), имеет вид:
∆
ˆ
V = −
e
mc
(B
ˆ
s)
(1.3)
= −
e}
2mc
(B
ˆ
σ). (1.25)
Как известно, включение внешнего электромагнитного поля с по-
тенциалами ϕ и A приводит к следующим заменам в уравнении Шре-
дингера (1.23) для электрона:
ˆ
p →
ˆ
p −
e
c
A; V (r) → V (r) + eϕ. (1.26)
Напомним, что
B = rot A. (1.27)
При учете спина в правую часть уравнения (1.23) необходимо также
добавить слагаемое (1.25):
i}
∂Ψ
∂t
=
(p −
e
c
A)
2
2m
+ V (r) + eϕ
Ψ −
e}
2mc
(B
ˆ
σ)Ψ. (1.28)
Наличие оператора
ˆ
σ указывает, что функция Ψ в уравнении (1.28)
становится двухкомпонентной:
Ψ(r, t) ≡
ψ
1
(r, t)
ψ
2
(r, t)
!
(1.29)
Заметим, что ψ
1
соответствует значению s
z
= +
}
2
, а ψ
2
— значению
s
z
= −
}
2
. Также подразумевается, что оператор в квадратных скобках,
а также производная по времени умножаются на единичную матрицу
2×2. Таким образом, модифицированное уравнение Шредингера (1.28)
становится матричным. В этом случае оно называется уравнением Па-
ули. Если ось Oz направить вдоль вектора B, уравнение Паули сводит-
ся к достаточно компактной системе двух уравнений для ψ
1,2
(r, t):
i}
∂ψ
1
∂t
=
(p −
e
c
A)
2
2m
+ V (r) + eϕ
ψ
1
−
e}B
2mc
ψ
1
;
i}
∂ψ
2
∂t
=
(p −
e
c
A)
2
2m
+ V (r) + eϕ
ψ
2
+
e}B
2mc
ψ
2
.
(1.30)
14
и в гамильтониан необходимо добавить слагаемое, учитывающее энер-
гию магнитного диполя в поле B:

                              ∆V = −µB.

Оператор этой энергии, в соответствии с (1.24), имеет вид:

                            e       (1.3)  e}
                  ∆V̂ = −      (Bŝ) = −      (B σ̂).            (1.25)
                            mc            2mc
   Как известно, включение внешнего электромагнитного поля с по-
тенциалами ϕ и A приводит к следующим заменам в уравнении Шре-
дингера (1.23) для электрона:
                           e
                  p̂ → p̂ − A; V (r) → V (r) + eϕ.               (1.26)
                           c
Напомним, что
                              B = rot A.                         (1.27)
При учете спина в правую часть уравнения (1.23) необходимо также
добавить слагаемое (1.25):
                                        
          ∂Ψ     (p − ec A)2                   e}
       i}    =               + V (r) + eϕ Ψ −     (B σ̂)Ψ. (1.28)
          ∂t        2m                        2mc

Наличие оператора σ̂ указывает, что функция Ψ в уравнении (1.28)
становится двухкомпонентной:
                                           !
                                 ψ1 (r, t)
                      Ψ(r, t) ≡                           (1.29)
                                 ψ2 (r, t)

Заметим, что ψ1 соответствует значению sz = + }2 , а ψ2 — значению
sz = − }2 . Также подразумевается, что оператор в квадратных скобках,
а также производная по времени умножаются на единичную матрицу
2 × 2. Таким образом, модифицированное уравнение Шредингера (1.28)
становится матричным. В этом случае оно называется уравнением Па-
ули. Если ось Oz направить вдоль вектора B, уравнение Паули сводит-
ся к достаточно компактной системе двух уравнений для ψ1,2 (r, t):
                                             
              ∂ψ1     (p − ec A)2                     e}B
           i}     =               + V (r) + eϕ ψ1 −       ψ1 ;
               ∂t        2m                           2mc
                                                               (1.30)
              ∂ψ2     (p − ec A)2                     e}B
           i}     =               + V (r) + eϕ ψ2 +       ψ2 .
               ∂t        2m                           2mc


                                   14

Страницы