Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Уравнения (1.30) независимы и отличаются только знаком перед B. В
пределе B → 0 оба уравнения (1.30) переходят в исходное уравнение
Шредингера (1.23).
Выведем теперь уравнение непрерывности из уравнения Паули. Для
этого представим (1.28) в виде
i}
∂Ψ
∂t
=
ˆ
H
0
Ψ −
e}
2mc
(B
ˆ
σ)Ψ, (1.31)
где через
ˆ
H
0
обозначены слагаемые, не содержащие спиновых операто-
ров
ˆ
σ. Запишем эрмитово сопряженное к (1.31) уравнение:
−i}
∂Ψ
∂t
=
ˆ
H
∗
0
Ψ
†
−
e}
2mc
Ψ
†
(B
ˆ
σ
†
). (1.32)
Умножая теперь (1.31) на Ψ
†
слева, а (1.32) на Ψ справа и вычитая
одно уравнение из другого, получаем:
i}
∂
∂t
(Ψ
†
Ψ) = Ψ
†
(
ˆ
H
0
Ψ) − (
ˆ
H
∗
0
Ψ
†
)Ψ. (1.33)
При выводе (1.33) учтена самосопряженность
ˆ
σ. После вычислений,
аналогичных выводу уравнения непрерывности для бесспиновых ча-
стиц (проделать самостоятельно!), уравнение (1.33) приводится к виду:
∂
∂t
w(r, t) + div j = 0, (1.34)
совпадающему с уравнением непрерывности для плотности вероятно-
сти:
w(r, t) = Ψ
†
Ψ, (1.35)
и плотность потока вероятности:
j =
i}
2m
[(∇Ψ
†
)Ψ − Ψ
†
∇Ψ] −
e
mc
AΨ
†
Ψ. (1.36)
Развернутая запись (1.35), (1.36) через компоненты ψ
1,2
показывает,
что вероятность местонахождения электрона и плотность токов адди-
тивно складываются из двух частей, каждая из которых относится к
одной определенной ориентации спина (см. также (1.14)). Предлагаем
убедится в этом самостоятельно.
В заключение подчеркнем, что уравнения Паули (1.28), (1.30) явля-
ются следствием гипотезы Уленбека–Гаудсмита. Сама же эта гипотеза
является гипотезой ad hoc. Она введена специально для объяснения
новых свойств электрона в магнитном поле. Логически последователь-
ный вывод уравнения Паули как следствия наличия спина электрона
будет дан в Главе 3 в рамках релятивистской квантовой теории.
15
Уравнения (1.30) независимы и отличаются только знаком перед B. В
пределе B → 0 оба уравнения (1.30) переходят в исходное уравнение
Шредингера (1.23).
   Выведем теперь уравнение непрерывности из уравнения Паули. Для
этого представим (1.28) в виде
                             ∂Ψ            e}
                        i}      = Ĥ0 Ψ −     (B σ̂)Ψ,          (1.31)
                             ∂t           2mc
где через Ĥ0 обозначены слагаемые, не содержащие спиновых операто-
ров σ̂. Запишем эрмитово сопряженное к (1.31) уравнение:
                          ∂Ψ              e} †
                   −i}       = Ĥ0∗ Ψ† −     Ψ (B σ̂ † ).       (1.32)
                          ∂t             2mc
Умножая теперь (1.31) на Ψ† слева, а (1.32) на Ψ справа и вычитая
одно уравнение из другого, получаем:
                       ∂
                  i}      (Ψ† Ψ) = Ψ† (Ĥ0 Ψ) − (Ĥ0∗ Ψ† )Ψ.    (1.33)
                       ∂t
При выводе (1.33) учтена самосопряженность σ̂. После вычислений,
аналогичных выводу уравнения непрерывности для бесспиновых ча-
стиц (проделать самостоятельно!), уравнение (1.33) приводится к виду:
                      ∂
                         w(r, t) + div j = 0,             (1.34)
                      ∂t
совпадающему с уравнением непрерывности для плотности вероятно-
сти:
                         w(r, t) = Ψ† Ψ,                  (1.35)
и плотность потока вероятности:
                        i}                     e
               j=          [(∇Ψ† )Ψ − Ψ† ∇Ψ] −    AΨ† Ψ.        (1.36)
                       2m                      mc
   Развернутая запись (1.35), (1.36) через компоненты ψ1,2 показывает,
что вероятность местонахождения электрона и плотность токов адди-
тивно складываются из двух частей, каждая из которых относится к
одной определенной ориентации спина (см. также (1.14)). Предлагаем
убедится в этом самостоятельно.
   В заключение подчеркнем, что уравнения Паули (1.28), (1.30) явля-
ются следствием гипотезы Уленбека–Гаудсмита. Сама же эта гипотеза
является гипотезой ad hoc. Она введена специально для объяснения
новых свойств электрона в магнитном поле. Логически последователь-
ный вывод уравнения Паули как следствия наличия спина электрона
будет дан в Главе 3 в рамках релятивистской квантовой теории.


                                       15

Страницы