Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Будем искать стационарные состояния. Для этого представим вол-
новую функцию в виде
Ψ(r, s
z
; t) = Ψ(r, s
z
) exp
−
i
}
Et
с неизвестной энергией E и подставим ее в (1.41). В итоге получим
стационарное уравнение Паули:
(
ˆ
H
0
+
ˆ
V )Ψ(r, s
z
) = EΨ(r, s
z
), (1.44)
где
ˆ
V определяется в (1.43).
В слабом поле B взаимодействие
ˆ
V можно рассматривать как воз-
мущение. Как известно, решение невозмущенной задачи (в отсутствие
магнитного поля)
ˆ
H
0
Ψ
(0)
= E
(0)
Ψ
(0)
с учетом спина электрона в сферических координатах имеет вид:
ψ
(0)
nlm
l
m
s
(r, s
z
) =
1
r
R
nl
(r)Y
lm
l
(θ, ϕ)χ
m
s
(s
z
), (1.45)
где n, l — соответственно главное и орбитальное квантовые числа;
m
l
, m
s
— квантовые числа, соответствующие проекциям орбитального
момента и спина на ось Oz. Каждый невозмущенный подуровень E
(0)
nl
будет вырожден с кратностью 2(2l + 1) (поскольку m
l
= 0, ±1, . . . , ±l и
m
s
= ±
1
2
).
Получим энергетическое представление оператора взаимодействия
(1.43) по базису невозмущенных состояний (1.45), относящихся к под-
уровню E
(0)
nl
:
hnlm
0
l
m
0
s
|
ˆ
V |nlm
l
m
s
i = −
e}
2mc
B(m
l
+ 2m
s
)δ
m
0
l
m
l
δ
m
0
s
m
s
. (1.46)
При вычислении (1.46) использованы свойства диагональности
ˆ
l
z
и ˆs
z
в
представлении (1.45), а также нормировка радиальной волновой функ-
ции R
nl
(r) на единицу.
Поскольку, в соответствии с (1.46), оператор
ˆ
V диагонален по тем
же квантовым числам, по которым имеется вырождение подуровня
E
(0)
nl
, достаточно ограничиться теорией возмущений для невырожден-
ных уровней (без использования секулярного уравнения). Как извест-
но, поправка первого порядка к подуровню E
(0)
nl
равна диагональному
матричному элементу (1.46):
∆E
m
l
m
s
= hnlm
l
m
s
|
ˆ
V |nlm
l
m
s
i = −
e}
2mc
B(m
l
+ 2m
s
). (1.47)
17
   Будем искать стационарные состояния. Для этого представим вол-
новую функцию в виде
                                                  
                                               i
                 Ψ(r, sz ; t) = Ψ(r, sz ) exp − Et
                                               }
с неизвестной энергией E и подставим ее в (1.41). В итоге получим
стационарное уравнение Паули:

                       (Ĥ0 + V̂ )Ψ(r, sz ) = EΨ(r, sz ),                 (1.44)

где V̂ определяется в (1.43).
   В слабом поле B взаимодействие V̂ можно рассматривать как воз-
мущение. Как известно, решение невозмущенной задачи (в отсутствие
магнитного поля)
                           Ĥ0 Ψ(0) = E (0) Ψ(0)
с учетом спина электрона в сферических координатах имеет вид:
                 (0)                  1
               ψnlml ms (r, sz ) =      Rnl (r)Ylml (θ, ϕ)χms (sz ),      (1.45)
                                      r
где n, l — соответственно главное и орбитальное квантовые числа;
ml , ms — квантовые числа, соответствующие проекциям орбитального
                                                                      (0)
момента и спина на ось Oz. Каждый невозмущенный подуровень Enl
будет вырожден с кратностью 2(2l + 1) (поскольку ml = 0, ±1, . . . , ±l и
ms = ± 21 ).
    Получим энергетическое представление оператора взаимодействия
(1.43) по базису невозмущенных состояний (1.45), относящихся к под-
           (0)
уровню Enl :
                                       e}
     hnlm0l m0s | V̂ |nlml ms i = −       B(ml + 2ms )δm0l ml δm0s ms .   (1.46)
                                      2mc
При вычислении (1.46) использованы свойства диагональности ˆlz и ŝz в
представлении (1.45), а также нормировка радиальной волновой функ-
ции Rnl (r) на единицу.
   Поскольку, в соответствии с (1.46), оператор V̂ диагонален по тем
же квантовым числам, по которым имеется вырождение подуровня
 (0)
Enl , достаточно ограничиться теорией возмущений для невырожден-
ных уровней (без использования секулярного уравнения). Как извест-
                                             (0)
но, поправка первого порядка к подуровню Enl равна диагональному
матричному элементу (1.46):
                                                   e}
      ∆Eml ms = hnlml ms | V̂ |nlml ms i = −          B(ml + 2ms ).       (1.47)
                                                  2mc

                                          17

Страницы