Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2.5. Сложные атомы. Метод Хартри
Перейдем к рассмотрению приближенных методов вычисления
энергетических состояний атомов, содержащих два и более электро-
нов. Пренебрегая релятивистскими эффектами, гамильтониан атома в
системе координат, связанной с ядром атома, можно записать в виде:
ˆ
H =
N
X
i=1
ˆ
h(r
i
) +
1
2
N
X
i6=j
e
2
r
ij
, (2.43)
где
ˆ
h(r
i
) = −
}
2
2µ
∇
2
i
−
Ze
2
r
i
(2.44)
— гамильтониан i-го электрона в поле ядра с зарядом Z|e|; r
i
— коор-
дината i-го электрона; ∇
2
i
— оператор Лапласа в пространстве коор-
динат r
i
; r
ij
≡ |r
i
− r
j
| — расстояние между i-м и j-м электронами.
Для вычисления энергии основного состояния атома удобно использо-
вать вариационный метод. Напомним кратко основные моменты вари-
ационного подхода (подробности смотри в главе 3 второй части кур-
са лекций): (1) приближенная (нормированная на единицу) волновая
функция обеспечивает минимум функционала
J =
Z
Ψ
∗
ˆ
HΨ dξ = 0,
Z
|Ψ|
2
dξ = 1,
6
что эквивалентно обращению в нуль вариации функционала J
δJ = δ
Z
Ψ
∗
ˆ
HΨ dξ = 0; (2.45)
(2) энергия системы определяется значением J, вычисленным с полу-
ченной вариационной волновой функцией. Отметим также, что если
вид пробной функции Ψ(ξ) не задан, то из уравнения (2.45) следует
уравнение на волновую функцию. Успех вариационного метода зави-
сит от выбора пробной функции Ψ.
Выберем пробную функцию в виде простого произведения одноча-
стичных функций:
Ψ(r
1
, . . . , r
N
) = ϕ
α
1
(r
1
) . . . ϕ
α
N
(r
N
). (2.46)
Отметим, что выбор пробной функции в виде (2.46) автоматически
означает пренебрежение корреляционными эффектами в движении
6
ξ — совокупность координат всех электронов.
43
2.5.     Сложные атомы. Метод Хартри
   Перейдем к рассмотрению приближенных методов вычисления
энергетических состояний атомов, содержащих два и более электро-
нов. Пренебрегая релятивистскими эффектами, гамильтониан атома в
системе координат, связанной с ядром атома, можно записать в виде:
                                  N                   N
                                  X            1 X e2
                           Ĥ =     ĥ(r i ) +          ,                  (2.43)
                                i=1
                                               2   r ij
                                                      i6=j

где
                                         }2 2 Ze2
                             ĥ(r i ) = − ∇i −                             (2.44)
                                         2µ    ri
— гамильтониан i-го электрона в поле ядра с зарядом Z|e|; r i — коор-
дината i-го электрона; ∇2i — оператор Лапласа в пространстве коор-
динат r i ; rij ≡ |r i − r j | — расстояние между i-м и j-м электронами.
Для вычисления энергии основного состояния атома удобно использо-
вать вариационный метод. Напомним кратко основные моменты вари-
ационного подхода (подробности смотри в главе 3 второй части кур-
са лекций): (1) приближенная (нормированная на единицу) волновая
функция обеспечивает минимум функционала
                        Z                  Z
                               ∗
                  J = Ψ ĤΨ dξ = 0,           |Ψ|2 dξ = 1, 6

что эквивалентно обращению в нуль вариации функционала J
                            Z
                      δJ = δ Ψ∗ ĤΨ dξ = 0;                                (2.45)

(2) энергия системы определяется значением J, вычисленным с полу-
ченной вариационной волновой функцией. Отметим также, что если
вид пробной функции Ψ(ξ) не задан, то из уравнения (2.45) следует
уравнение на волновую функцию. Успех вариационного метода зави-
сит от выбора пробной функции Ψ.
    Выберем пробную функцию в виде простого произведения одноча-
стичных функций:

                    Ψ(r 1 , . . . , r N ) = ϕα1 (r 1 ) . . . ϕαN (r N ).   (2.46)

Отметим, что выбор пробной функции в виде (2.46) автоматически
означает пренебрежение корреляционными эффектами в движении
  6ξ   — совокупность координат всех электронов.



                                            43

Страницы