Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

спина электрона
ˆ
s в векторном виде, хорошо видно при анализе со-
стояний электрона с определенным моментом импульса. В нереляти-
вистской теории такие состояния являются собственными функциями
операторов квадрата орбитального момента
ˆ
L
2
и одной из его проек-
ций
ˆ
L
i
(например,
ˆ
L
z
), которые коммутируют с гамильтонианом как
свободного электрона, так и при наличии центрального поля. Однако
для релятивистского электрона, описываемого уравнением Дирака, ор-
битальный момент уже не сохраняется даже в случае свободного дви-
жения. Для этого рекомендуем самостоятельно убедиться в том, что
[
ˆ
L,
ˆ
H
D
] = i}c[
ˆ
α ×
ˆ
p] 6= 0.
В частности, [
ˆ
L
z
,
ˆ
H
D
] = i}c(ˆα
x
ˆp
y
− ˆα
y
ˆp
x
).
Вместе с тем полный момент импульса, оператор которого вводится
соотношением
ˆ
J =
ˆ
L +
}
2
ˆ
σ 0
0
ˆ
σ
!
=
ˆ
L +
ˆ
s 0
0
ˆ
s
!
, (3.56)
при релятивистском движении свободного электрона (а также для элек-
трона в центральном поле, энергия U (r) взаимодействия с которым про-
сто добавляется к гамильтониану
ˆ
H
D
свободного электрона) сохраняет-
ся. Предлагаем для этого самостоятельно проверить коммутативность
оператора
ˆ
H
D
+ U (r) с операторами
ˆ
J
2
и
ˆ
J
z
. Напомним, что коммута-
ционные соотношения для декартовых компонент
ˆ
J такие же, как и у
орбитального момента или спина:
[
ˆ
J
i
,
ˆ
J
k
] = i}
X
l
ε
ikl
ˆ
J
l
, [
ˆ
J
2
,
ˆ
J
i
] = 0,
поскольку операторы
ˆ
L и
ˆ
s =
}
2
ˆ
σ, входящие в
ˆ
J, действуют на разные
переменные и, следовательно, коммутируют. Собственные функции и
собственные значения операторов
ˆ
J
2
и
ˆ
J
z
приведены в конце разде-
ла 1.6.3. Здесь мы лишь подчеркнем, что, ввиду наличия спина, эти
собственные значения всегда отличны от нуля.
Таким образом, для релятивистского электрона аналогом сохраня-
ющегося момента импульса в нерелятивистской квантовой теории яв-
ляется физическая величина, соответствующая оператору
ˆ
J =
ˆ
L +
ˆ
s
(где мы для краткости не используем четырхмерную запись). Это вы-
ражение подтверждает правильность гипотезы Уленбека–Гаудсмита о
наличии у электрона «собственного», не связанного с механическим
движением момента импульса.
70
спина электрона ŝ в векторном виде, хорошо видно при анализе со-
стояний электрона с определенным моментом импульса. В нереляти-
вистской теории такие состояния являются собственными функциями
                                             2
операторов квадрата орбитального момента L̂ и одной из его проек-
ций L̂i (например, L̂z ), которые коммутируют с гамильтонианом как
свободного электрона, так и при наличии центрального поля. Однако
для релятивистского электрона, описываемого уравнением Дирака, ор-
битальный момент уже не сохраняется даже в случае свободного дви-
жения. Для этого рекомендуем самостоятельно убедиться в том, что

                         [L̂, ĤD ] = i}c[α̂ × p̂] 6= 0.

В частности, [L̂z , ĤD ] = i}c(α̂x p̂y − α̂y p̂x ).
   Вместе с тем полный момент импульса, оператор которого вводится
соотношением
                                          !               !
                            }     σ̂ 0               ŝ 0
                Ĵ = L̂ +                     = L̂ +        , (3.56)
                            2     0 σ̂               0 ŝ

при релятивистском движении свободного электрона (а также для элек-
трона в центральном поле, энергия U (r) взаимодействия с которым про-
сто добавляется к гамильтониану ĤD свободного электрона) сохраняет-
ся. Предлагаем для этого самостоятельно проверить коммутативность
                                      2
оператора ĤD + U (r) с операторами Ĵ и Jˆz . Напомним, что коммута-
ционные соотношения для декартовых компонент Ĵ такие же, как и у
орбитального момента или спина:
                                      X                   2
                  [Jˆi , Jˆk ] = i}       εikl Jˆl ,   [Ĵ , Jˆi ] = 0,
                                      l


поскольку операторы L̂ и ŝ = }2 σ̂, входящие в Ĵ , действуют на разные
переменные и, следовательно, коммутируют. Собственные функции и
                                       2
собственные значения операторов Ĵ и Jˆz приведены в конце разде-
ла 1.6.3. Здесь мы лишь подчеркнем, что, ввиду наличия спина, эти
собственные значения всегда отличны от нуля.
   Таким образом, для релятивистского электрона аналогом сохраня-
ющегося момента импульса в нерелятивистской квантовой теории яв-
ляется физическая величина, соответствующая оператору Ĵ = L̂ + ŝ
(где мы для краткости не используем четырхмерную запись). Это вы-
ражение подтверждает правильность гипотезы Уленбека–Гаудсмита о
наличии у электрона «собственного», не связанного с механическим
движением момента импульса.


                                            70

Страницы