Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Тогда система уравнений (3.59) преобразуется так:
E
0
ϕ = c
ˆ
σ
ˆ
p −
e
c
A
χ + eA
0
ϕ,
χ =
c
ˆ
σ
ˆ
p −
e
c
A
E
0
+ 2mc
2
− eA
0
ϕ ≈
1
2mc
ˆ
σ
ˆ
p −
e
c
A
ϕ.
(3.60)
Подставляя значения χ из второго уравнения системы (3.60) в первое,
приходим к уравнению, содержащему только функцию ϕ:
1
2m
σ
ˆ
p −
e
c
A
2
ϕ + eA
0
ϕ = E
0
ϕ. (3.61)
Используя тождество (3.41), находим:
h
σ
ˆ
p −
e
c
A
i
2
=
ˆ
p −
e
c
A
2
−
e}
c
ˆ
σ rot A.
Подставляя это выражение в (3.61) и вводя индукцию магнитного по-
ля B = rot A, получаем уравнение Паули для частицы с зарядом e и
спином
1
2
:
1
2m
ˆ
p −
e
c
A
2
+ eA
0
−
e}
2mc
(
ˆ
σB)
ϕ = E
0
ϕ. (3.62)
Как видно, уравнение (3.62) содержит слагаемое, обусловленное взаи-
модействием собственного магнитного момента электрона с внешним
полем, т. е. член −
ˆ
µB, где
ˆ
µ =
e}
2mc
ˆ
σ =
e
mc
ˆ
s
— оператор собственного магнитного момента.
Таким образом, теория Дирака объясняет не только наличие спина
(т. е. не связанного с орбитальным движением механического момента
импульса) у электрона, но и дает правильное значение связанного с
ним магнитного момента (т. е. объясняет «необычное» гиромагнитное
отношение в формуле (1.1)).
Для электрона, уже находящегося в поле с потенциальной энергией
V (r), полученное ранее уравнение Паули в форме (1.30) следует из
уравнения (3.62), если сделать в нем замену eA
0
→ eϕ + V (r).
3.7.2. Спин-орбитальное взаимодействие в теории
Дирака
Рассмотрим движение заряженной частицы со спином
1
2
во внешнем поле
V (r) с точностью до слагаемых порядка v
2
/c
2
. Для этого в системе (3.60)
72
Тогда система уравнений (3.59) преобразуется так:
                          e 
              0
            E ϕ = cσ̂ p̂ − A χ + eA0 ϕ,
                           c 
                                                                     (3.60)
                   cσ̂ p̂ − ec A       1         e 
             χ= 0                 ϕ≈      σ̂ p̂ − A ϕ.
                 E + 2mc2 − eA0       2mc         c
Подставляя значения χ из второго уравнения системы (3.60) в первое,
приходим к уравнению, содержащему только функцию ϕ:
                               
                1           e 2
                    σ p̂ − A       ϕ + eA0 ϕ = E 0 ϕ.        (3.61)
               2m           c
Используя тождество (3.41), находим:
             h      e i2         e 2 e}
              σ p̂ − A       = p̂ − A − σ̂ rot A.
                     c              c     c
Подставляя это выражение в (3.61) и вводя индукцию магнитного по-
ля B = rot A, получаем уравнение Паули для частицы с зарядом e и
спином 12 :
                                            
               1      e 2          e}
                   p̂ − A + eA0 −       (σ̂B) ϕ = E 0 ϕ.   (3.62)
              2m       c            2mc
Как видно, уравнение (3.62) содержит слагаемое, обусловленное взаи-
модействием собственного магнитного момента электрона с внешним
полем, т. е. член −µ̂B, где
                                   e}      e
                           µ̂ =       σ̂ =    ŝ
                                  2mc      mc
— оператор собственного магнитного момента.
    Таким образом, теория Дирака объясняет не только наличие спина
(т. е. не связанного с орбитальным движением механического момента
импульса) у электрона, но и дает правильное значение связанного с
ним магнитного момента (т. е. объясняет «необычное» гиромагнитное
отношение в формуле (1.1)).
    Для электрона, уже находящегося в поле с потенциальной энергией
V (r), полученное ранее уравнение Паули в форме (1.30) следует из
уравнения (3.62), если сделать в нем замену eA0 → eϕ + V (r).

3.7.2.    Спин-орбитальное взаимодействие в теории
          Дирака
    Рассмотрим движение заряженной частицы со спином 12 во внешнем поле
V (r) с точностью до слагаемых порядка v 2 /c2 . Для этого в системе (3.60)


                                     72

Страницы