Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

сопряжения (1.10) неприменима, поскольку в классически разрешен-
ной области при достаточно высокой энергии движение квазиклассич-
но всюду вплоть до точки b. Потребуем для функции (1.9) выполнения
граничного условия (1.15), т.е., полагая x = b, приравняем аргумент
косинуса величине
π
2
+ πn (n — целое). В результате получим правило
квантования при наличии непроницаемой стенки:
Z
b
a
p(x) dx = π}
n +
3
4
, n = 0, 1, . . .
(как и ранее, начало отсчета n выбрано с учетом положительной опре-
деленности p(x) в классически доступной области).
Таким же будет результат и при
Рис. 1.2.
наличии стенки в точке a (при этом
точка b является правильной). В обо-
их случаях выполняется осцилляци-
онная теорема. Рекомендуем самосто-
ятельно проверить данные утвержде-
ния.
Задачи для самостоятельно-
го решения
1. В квазиклассическом приближении определить положение энер-
гетических уровней частицы с массой µ, совершающей одномерное
движение в поле U(x) = F |x| (параметр F > 0). (Ответ: E
n
=
1
2µ
1
/
3
3
2
F π}
n +
1
2

2
/
3
, n = 0, 1, . . .)
2. Частица с массой µ вертикально падает на горизонтальную пластину
и упруго отражается от нее. С квазиклассической точностью опреде-
лить уровни энергии и допустимые максимальные высоты.
(Ответ: E
n
=
1
2
(9g
2
µ)
1
/
3
π}
n +
3
4
2
/
3
, h
(max)
n
=
E
n
µg
, n = 0, 1, . . .,
где g — ускорение свободного падения.)
3. Обобщить правило квантования Бора–Зоммерфельда для случая,
когда движение с двух сторон ограничено непроницаемыми стенками в
точках a и b (a < b, см. рис. 1.3). В качестве примера рассмотреть дви-
жение частицы в потенциальной яме ширины L с бесконечно высокими
стенками и плоским дном:
11
сопряжения (1.10) неприменима, поскольку в классически разрешен-
ной области при достаточно высокой энергии движение квазиклассич-
но всюду вплоть до точки b. Потребуем для функции (1.9) выполнения
граничного условия (1.15), т.е., полагая x = b, приравняем аргумент
                   π
косинуса величине + πn (n — целое). В результате получим правило
                   2
квантования при наличии непроницаемой стенки:
              � b             �       �
                                    3
                  p(x) dx = π� n +      ,   n = 0, 1, . . .
               a                    4

(как и ранее, начало отсчета n выбрано с учетом положительной опре-
деленности p(x) в классически доступной области).
   Таким же будет результат и при
наличии стенки в точке a (при этом
точка b является правильной). В обо-
их случаях выполняется осцилляци-
онная теорема. Рекомендуем самосто-
ятельно проверить данные утвержде-
ния.                               �


Задачи для самостоятельно-
го решения                                             Рис. 1.2.


1. В квазиклассическом приближении определить положение энер-
гетических уровней частицы с массой µ, совершающей одномерное
движение в поле U (x) = F |x| (параметр F > 0). (Ответ: E n =
      �       �      �� 2/3
  1     3          1
          F π� n +          , n = 0, 1, . . .)
2µ 1/3 2           2
2. Частица с массой µ вертикально падает на горизонтальную пластину
и упруго отражается от нее. С квазиклассической точностью опреде-
лить уровни энергии и допустимые максимальные высоты.
                            � �       �� 2/3
                1       1/3         3                   En
(Ответ: En = (9g µ) 2
                             π� n +          , h(max) =    , n = 0, 1, . . .,
                2                   4           n
                                                        µg
где g — ускорение свободного падения.)
3. Обобщить правило квантования Бора–Зоммерфельда для случая,
когда движение с двух сторон ограничено непроницаемыми стенками в
точках a и b (a < b, см. рис. 1.3). В качестве примера рассмотреть дви-
жение частицы в потенциальной яме ширины L с бесконечно высокими
стенками и плоским дном:


                                     11

Страницы