Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 9 стр.

переходить друг в друга, т.е. необходимо приравнять их логарифми-
ческие производные. Помня о том, что множители перед косинусами
можно рассматривать как константы, после несложных преобразо-
ваний получаем:
          � � x                �     � � x                �
           1                 π        1                 π
        tg      p(x� ) dx� −     = tg      p(x� ) dx� +     . (1.11)
           � a               4        � b               4

   Для тождественного выполнения равенства (1.11) аргументы тан-
генсов должны различаться на целое число π:
             � b             �      �
                                  1
                 p(x) dx = π� n +     ,   n = 0, 1, . . .  (1.12)
              a                   2

Отрицательные значения n исключены из-за того, что в классически
разрешенной области, как можно видеть из (1.3), p(x) > 0.
   Выражение (1.12) является правилом квантования энергетических
уровней в одномерной потенциальной яме. Пределы интегрирования a
и b (точки поворота) — функции энергии E, которые задаются неявно
уравнением (1.7). Классический импульс p(x) также зависит от энер-
гии, как от параметра (см. (1.3)). Поэтому выражение (1.12) представ-
ляет собой в общем случае трансцендентное уравнение относительно
энергии E с целым неотрицательным параметром n. Очевидно, реше-
ние этого уравнения определяется величиной n и дает значение энергии
n-го возбужденного состояния. Можно также показать, что при этом
выполняется осцилляционная теорема: волновая функция n-го возбуж-
денного состояния внутри потенциальной ямы обращается в нуль ровно
n раз.                                                             �
   Фактически правило квантования (1.12) применимо при больших
значениях n. Действительно,
                        �                         �
                    1           b                         b
                                                              dx  d
                 n∼                 p(x) dx =                    ∼ � 1,
                    �       a                         a       λ   λ

т.к. в квазиклассическом приближении де-бройлевская длина волны
значительно меньше размеров области движения.
Пример 1.3. Используя правило квантования Бора–Зоммерфельда,
получить энергии стационарных состояний линейного гармонического
осциллятора с массой µ и частотой ω.
Решение. Как известно, потенциальная энергия осциллятора
                                              1 2 2
                                    U (x) =     µω x .
                                              2

                                              9