Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

называемые формулы сопряжения.
Для частицы с энергией E, находящейся в потенциальной яме (дис-
кретный спектр), волновая функция должна убывать при x → ∓∞
(рис. 1.1, соответственно области I, III). При этом связь экспоненци-
ально убывающего решения в классически недоступной области с ре-
шением в классически разрешенной области движения определяется
следующей формулой сопряжения:
C
p
|p(x)|
exp
−
1
}
Z
x
a
|p(x
0
)|dx
0
→
2C
p
p(x)
cos
1
}
Z
x
a
p(x
0
) dx
0
−
π
4
U(x) > E U(x) < E
(1.8)
Форомула сопряжения (1.8) записана в виде, не зависящем от того, с
какой стороны от точки поворота (точка a) лежит классически недо-
ступная область движения. Так, она применима непосредственно как к
левой точке поворота a, так и к правой точке поворота b (рис. 1.1) с со-
ответствующей заменой a → b и
π
4
→ −
π
4
. При этом следует помнить о
том, что при углублении в классически недоступную область волновая
функция должна экспоненциально затухать.
1.2. Правило квантования Бора–Зоммерфельда
С помощью формул сопряжения можно получить условие, опреде-
ляющее в ВКБ-приближении положение энергетических уровней дис-
кретного спектра (правило квантования Бора–Зоммерфельда).
Пример 1.2. Получить правило квантования Бора–Зоммерфельда для
случая движения частицы в поле, изображенном на рис. 1.1.
Решение. Поскольку обе точки поворота являются правильными, запи-
шем волновую функцию в классически доступной области возле каж-
дой из этих точек, пользуясь формулой сопряжения (1.8):
Ψ
a
(x) =
C
a
p
p(x)
cos
1
}
Z
x
a
p(x
0
) dx
0
−
π
4
, (1.9)
Ψ
b
(x) =
C
b
p
p(x)
cos
1
}
Z
x
b
p(x
0
) dx
0
+
π
4
, (1.10)
где C
a
и C
b
— произвольные константы.
В любой точке x классически доступной области (a < x < b), доста-
точно удаленной от точек поворота, функции Ψ
a
(x) и Ψ
b
(x) должны
8
называемые формулы сопряжения.
   Для частицы с энергией E, находящейся в потенциальной яме (дис-
кретный спектр), волновая функция должна убывать при x → ∓∞
(рис. 1.1, соответственно области I, III). При этом связь экспоненци-
ально убывающего решения в классически недоступной области с ре-
шением в классически разрешенной области движения определяется
следующей формулой сопряжения:
               � �� x             ��             � � x              �
      C          1 ��             �
                                 ��     2C        1               π
   �        exp − �    |p(x )| dx � → �
                           �
                                              cos      p(x ) dx −
                                                          �    �
     |p(x)|      � a                     p(x)     � a             4
          U (x) > E                           U (x) < E
                                                                   (1.8)

Форомула сопряжения (1.8) записана в виде, не зависящем от того, с
какой стороны от точки поворота (точка a) лежит классически недо-
ступная область движения. Так, она применима непосредственно как к
левой точке поворота a, так и к правой точке поворота b (рис. 1.1) с со-
                                 π     π
ответствующей заменой a → b и → − . При этом следует помнить о
                                 4     4
том, что при углублении в классически недоступную область волновая
функция должна экспоненциально затухать.

1.2.   Правило квантования Бора–Зоммерфельда
   С помощью формул сопряжения можно получить условие, опреде-
ляющее в ВКБ-приближении положение энергетических уровней дис-
кретного спектра (правило квантования Бора–Зоммерфельда).
Пример 1.2. Получить правило квантования Бора–Зоммерфельда для
случая движения частицы в поле, изображенном на рис. 1.1.
Решение. Поскольку обе точки поворота являются правильными, запи-
шем волновую функцию в классически доступной области возле каж-
дой из этих точек, пользуясь формулой сопряжения (1.8):
                                  � � x                �
                         Ca        1                 π
               Ψa (x) = �      cos      p(x ) dx −
                                           �     �
                                                         ,   (1.9)
                          p(x)     � a               4
                                  � � x                �
                         Cb        1                 π
               Ψb (x) = �      cos      p(x� ) dx� +     ,  (1.10)
                          p(x)     � b               4

где Ca и Cb — произвольные константы.
   В любой точке x классически доступной области (a < x < b), доста-
точно удаленной от точек поворота, функции Ψa (x) и Ψb (x) должны


                                   8

Страницы