Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 7 стр.

откуда следует, что ВКБ-приближение применимо в случае движе-
ния с достаточно большими импульсами, причем классическая сила
F = |dU/dx|, действующая на частицу, должна быть не очень большой.
Другими словами, потенциальная энергия должна изменяться доста-
точно мало на протяжении де-бройлевской длины волны.            �
   Из условия применимости квазиклассического приближения (1.4)
следует, что экспоненты, фигурирующие в (1.1), (1.2), являются быст-
ро меняющимися функциями координат, в то время как предэкспонен-
циальные множители изменяются медленно. Поэтому при дифферен-
цировании функции Ψ(x) предэкспоненциальные множители можно
рассматривать как константы.
   Характер полученной волновой
функции существенно зависит от зна-
ка разности E − U (x). В так называ-
емой классически доступной области,
где E > U (x), импульс является веще-
ственным. При этом волновая функ-
ция осциллирует. Совершенно иная
ситуация наблюдается в классически
недоступной области, где E < U (x).
Здесь импульс становится мнимым, а
волновая функция имеет вид суперпо-                Рис. 1.1.
зиции двух экспонент. На рис. 1.1 (частица с энергией E находится в
потенциальной яме) область II (a < x < b) является классически до-
ступной, а области I и III (x < a, x > b) — классически недоступными.
   Границы классически доступной области называются классически-
ми точками поворота. Их координаты определяются из решения урав-
нения
                               U (x) = E.                        (1.7)
Точка поворота называется левой (правой), если классически доступная
область находится справа (слева) от нее. На рис. 1.1 точка a является
левой, а точка b — правой классическими точками поворота.
    Практическое использование квазиклассических волновых функций
возможно лишь в том случае, когда известна связь осциллирующего ре-
шения (1.1) с экспоненциальным (1.2) при переходе через точки поворо-
та, т.е. связь между константами C1 , C2 , C1� , C2� . Однако для непрерыв-
ного в точке поворота потенциала обычная процедура сшивания функ-
ций, заключающаяся в приравнивании их логарифмических производ-
ных в соседних областях, является незаконной, поскольку в окрестно-
сти этой точки условия применимости квазиклассического приближе-
ния (1.4)–(1.6) не выполняются (p = 0). В этом случае используют так


                                    7