Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

точностью до членов порядка }/i будет иметь вид
Ψ(x) =
C
1
p
p(x)
e
i
}
R
x
p(x
0
) dx
0
+
C
2
p
p(x)
e
−
i
}
R
x
p(x
0
) dx
0
, E > U(x);
(1.1)
Ψ(x) =
C
0
1
p
|p(x)|
e
1
}
R
x
|p(x
0
)|dx
0
+
C
0
2
p
|p(x)|
e
−
1
}
R
x
|p(x
0
)|dx
0
, E < U(x),
(1.2)
где
p(x) =
p
2µ[E − U(x)] (1.3)
— классический импульс
1
частицы; µ — масса частицы; C
1
, C
2
, C
0
1
,
C
0
2
— подлежащие определению произвольные константы. Из-за спе-
цифической структуры функции (1.1) данный метод иногда называют
методом фазовых интегралов. Главное его преимущество состоит в том,
что для нахождения волновых функций не требуется численного инте-
грирования уравнения Шредингера, дающего основную погрешность в
результаты расчетов. При этом функции могут быть получены анали-
тически для достаточно широкого класса потенциалов.
Условием применимости данного метода является
p
2
}
dp
dx
, или λ
1
k
dk
dx
1, (1.4)
где p = p(x), k = k(x) = p(x)/}, λ = 2π/k — де-бройлевская длина
волны, т.е. относительное изменение волнового числа на протяжении
де-бройлевской длинны волны должно быть мало по сравнению с еди-
ницей.
Условиям (1.4) можно придать и другую эквивалентную формули-
ровку:
dλ
dx
1. (1.5)
Производную dλ/dx можно оценить по порядку величины как λ/d, где
d — характерный размер области движения, поэтому неравенство (1.5)
сводится к условию λ d.
Пример 1.1. Какому условию должна удовлетворять потенциальная
энергия U(x) для применимости квазиклассического приближения?
Решение. Подставляя (1.3) в (1.4) и опуская несущественные для (1.4)
безразмерные множители порядка единицы, получаем:
dU
dx
|p|
3
µ}
, (1.6)
1
Это функция координат, и ее нельзя путать с оператором импульса.
6
точностью до членов порядка �/i будет иметь вид
         C1      i
                   �x �    �   C2      i
                                         �x �    �
 Ψ(x) = �      e � p(x ) dx + �     e− � p(x ) dx ,                                              E > U (x);
          p(x)                 p(x)
                                                                                                        (1.1)
               C1�         1
                               �   x
                                       |p(x� )| dx�       C2�     1
                                                                      �   x
                                                                              |p(x� )| dx�
 Ψ(x) = �              e   �                          +�       e− �                          ,   E < U (x),
              |p(x)|                                    |p(x)|
                                                                                                        (1.2)
где                                                    �
                                           p(x) =       2µ[E − U (x)]                                   (1.3)
— классический импульс 1 частицы; µ — масса частицы; C1 , C2 , C1� ,
C2� — подлежащие определению произвольные константы. Из-за спе-
цифической структуры функции (1.1) данный метод иногда называют
методом фазовых интегралов. Главное его преимущество состоит в том,
что для нахождения волновых функций не требуется численного инте-
грирования уравнения Шредингера, дающего основную погрешность в
результаты расчетов. При этом функции могут быть получены анали-
тически для достаточно широкого класса потенциалов.
    Условием применимости данного метода является
                       � �                 � �
                       � dp �            1 � dk �
               p2 � � �� �� ,  или     λ �� �� � 1,            (1.4)
                         dx              k dx
где p = p(x), k = k(x) = p(x)/�, λ = 2π/k — де-бройлевская длина
волны, т.е. относительное изменение волнового числа на протяжении
де-бройлевской длинны волны должно быть мало по сравнению с еди-
ницей.
   Условиям (1.4) можно придать и другую эквивалентную формули-
ровку:                       � �
                             � dλ �
                             � � � 1.                        (1.5)
                             � dx �
Производную dλ/dx можно оценить по порядку величины как λ/d, где
d — характерный размер области движения, поэтому неравенство (1.5)
сводится к условию λ � d.
Пример 1.1. Какому условию должна удовлетворять потенциальная
энергия U (x) для применимости квазиклассического приближения?
Решение. Подставляя (1.3) в (1.4) и опуская несущественные для (1.4)
безразмерные множители порядка единицы, получаем:
                            �    �
                            � dU �      3
                            �    � � |p| ,                     (1.6)
                            � dx �    µ�
  1 Это   функция координат, и ее нельзя путать с оператором импульса.


                                                          6

Страницы