Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 5 стр.

Глава 1.

Квазиклассическое приближение

1.1.   Волновая функция в квазиклассическом при-
       ближении
   Аналитическое решение стационарного уравнения Шредингера су-
ществует лишь для весьма ограниченного круга потенциалов (осцилля-
торный, кулоновский и некоторые другие). В большинстве же случаев
требуется численное интегрирование соответствующего дифференци-
ального уравнения. Однако, для сильно возбужденных состояний ча-
стицы, находящейся в потенциальной яме, когда волновая функция
быстро осциллирует (вспомним вид волновых функций осциллятора
и атома водорода с большими квантовыми числами; фактически об
этом же говорится и в осцилляционной теореме), решение уравнения
Шредингера все же может быть получено с достаточной точностью в
аналитической форме, если использовать некоторые дополнительные
предположения. Для достаточно высоких и широких потенциальных
барьеров произвольной формы величина коэффициента прохождения
также может быть найдена аналитически.
   Прежде всего заметим, что сильно возбужденные системы по своим
свойствам являются почти классическими, или квазиклассическими,
поскольку в этом случае классическое действие по порядку величины
значительно превосходит постоянную Планка �. Тем не менее, предель-
ный переход � → 0 в самом уравнении Шредингера смысла не имеет. Он
осуществляется с помощью так называемого квазиклассического при-
ближения, или метода Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна (ВКБ). Суть
метода состоит в представлении волновой функции в виде
                                   � �
                                    i
                           Ψ = exp    S
                                    �

и разложении действия S в ряд по степеням малого параметра �/i (i
написано для удобства). В дальнейшем для простоты ограничимся рас-
смотрением одномерной задачи, т.к. для нее данный метод разработан
наиболее полно.
   Волновая функция частицы с заданной энергией E в поле U (x) с



                                5