Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2.
Стационарная теория возмущений
2.1. Теория возмущений для случая отсутствия вы-
рождения
Точное аналитическое решение уравнения Шредингера, определяю-
щего энергию стационарных состояний системы, возможно только для
некоторых простейших потенциальных полей, соответствующих иде-
ализированным системам (например, прямоугольная бесконечно глу-
бокая потенциальная яма, линейный гармонический осциллятор, атом
водорода). При исследовании реальных атомных и ядерных систем при-
ходится прибегать к приближенным методам вычисления собственных
значений и собственных функций гамильтониана. В предыдущей гла-
ве был рассмотрен один из таких методов, не требующий численного
интегрирования уравнения Шредингера, — квазиклассическое прибли-
жение, которое применяется для сильно возбужденных систем. Другой
аналитический метод, называемый теорией возмущений (ТВ), развит
для случая, когда гамильтониан с неизвестным решением может быть
представлен в виде
ˆ
H =
ˆ
H
0
+
ˆ
V , (2.1)
где
ˆ
H
0
— гамильтониан идеализированной задачи, допускающей точное
аналитическое решение, а
ˆ
V — некоторая малая добавка, называемая
оператором возмущения, или просто возмущением. Оператором возму-
щения может быть либо часть гамильтониана, которая не учитывалась
в идеализированной задаче, либо потенциальная энергия внешнего воз-
действия (поля). Задачей теории возмущений является отыскание фор-
мул, определяющих энергию и волновые функции стационарных состо-
яний через известные значения энергий E
(0)
n
и волновые функции Ψ
(0)
n
“невозмущенной” системы с гамильтонианом
ˆ
H
0
.
Предположим теперь, что в невозмущенной задаче отсутствует вы-
рождение, т.е.
ˆ
H
0
Ψ
(0)
n
= E
(0)
n
Ψ
(0)
n
. (2.2)
Если
ˆ
V содержит малый параметр, то спектр E
n
и собственные функ-
ции Ψ
n
оператора
ˆ
H мало отличаются от E
(0)
n
и Ψ
(0)
n
. В этом случае
17
Глава 2.

Стационарная теория возмущений

2.1.   Теория возмущений для случая отсутствия вы-
       рождения
   Точное аналитическое решение уравнения Шредингера, определяю-
щего энергию стационарных состояний системы, возможно только для
некоторых простейших потенциальных полей, соответствующих иде-
ализированным системам (например, прямоугольная бесконечно глу-
бокая потенциальная яма, линейный гармонический осциллятор, атом
водорода). При исследовании реальных атомных и ядерных систем при-
ходится прибегать к приближенным методам вычисления собственных
значений и собственных функций гамильтониана. В предыдущей гла-
ве был рассмотрен один из таких методов, не требующий численного
интегрирования уравнения Шредингера, — квазиклассическое прибли-
жение, которое применяется для сильно возбужденных систем. Другой
аналитический метод, называемый теорией возмущений (ТВ), развит
для случая, когда гамильтониан с неизвестным решением может быть
представлен в виде
                           Ĥ = Ĥ0 + V̂ ,                    (2.1)
где Ĥ0 — гамильтониан идеализированной задачи, допускающей точное
аналитическое решение, а V̂ — некоторая малая добавка, называемая
оператором возмущения, или просто возмущением. Оператором возму-
щения может быть либо часть гамильтониана, которая не учитывалась
в идеализированной задаче, либо потенциальная энергия внешнего воз-
действия (поля). Задачей теории возмущений является отыскание фор-
мул, определяющих энергию и волновые функции стационарных состо-
                                         (0)                    (0)
яний через известные значения энергий En и волновые функции Ψn
“невозмущенной” системы с гамильтонианом Ĥ0 .
   Предположим теперь, что в невозмущенной задаче отсутствует вы-
рождение, т.е.
                         Ĥ0 Ψ(0)
                              n = En Ψn .
                                    (0) (0)
                                                              (2.2)
Если V̂ содержит малый параметр, то спектр En и собственные функ-
                                          (0)    (0)
ции Ψn оператора Ĥ мало отличаются от En и Ψn . В этом случае



                                17

Страницы