Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

При упрощении (2.31) воспользуемся (2.30), свойством нормированно-
сти функций |nlmi, а также эрмитовостью гамильтониана
ˆ
H
0
, след-
ствием которой будет равенство
hnlm|
ˆ
H
0
= hnlm|E
(0)
n
,
где E
(0)
n
— то же, что и в (2.30). После упрощения получаем:
E
(1)
nl
= −
1
2µ
e
c
2
[E
(0)2
n
+ 2Ze
2
E
(0)
n
hnlm|r
−1
|nlmi+
+ Z
2
e
4
hnlm|r
−2
|nlmi] (2.32)
Первый матричный элемент в (2.32) может быть вычислен по теореме о
вириале (ч.2, задача 23): hnlm|r
−1
|nlmi =
Z
n
2
e
2
E
a
. Второй — с исполь-
зованием явного вида радиальных водородных функций (см. Приложе-
ние). Приведем результат: hnlm|r
−2
|nlmi =
2Z
2
n
3
(2l + 1)
E
2
a
e
4
. В конечном
итоге получаем следующее выражение для поправки к энергии:
E
(1)
nl
= α
2
e
Z
4
2n
3
E
a
3
4n
−
1
l +
1
2
. (2.33)
Условием применимости теории возмущений будет (α
e
Z)
2
1.
Как видно из (2.33), релятивистские поправки полностью снимают
кулоновское вырождение уровней — проявляется их “тонкая структу-
ра”. Вырождение по магнитному квантовому числу остается.
Замечание. Мы не учитывали спин-орбитальное взаимодействие,
порядок величины которого такой же, как и у (2.33). По этой и неко-
торым другим причинам точное релятивистское решение задачи при
Z α
−1
e
не переходит в (2.33), и наш расчет носит лишь оценочный
характер.
Задачи для самостоятельного решения
11. Для частицы с массой µ, находящейся в бесконечно глубокой прямо-
угольной потенциальной яме ширины a, найти в первом порядке теории
возмущений смещение энергетических уровней под действием возмуще-
ния вида (всюду 0 6 x 6 a):
а) V (x) =
V
0
a
(a − |2x − a|);
б) V (x) =
(
V
0
, b 6 x 6 a − b;
0, 0 < x < b, a − b < x < a.
26
При упрощении (2.31) воспользуемся (2.30), свойством нормированно-
сти функций |nlm�, а также эрмитовостью гамильтониана Ĥ0 , след-
ствием которой будет равенство
                           �nlm| Ĥ0 = �nlm| En(0) ,
      (0)
где En — то же, что и в (2.30). После упрощения получаем:

    (1)       1
  Enl = −          [En(0)2 + 2Ze2 En(0) �nlm| r−1 |nlm� +
            2µe c2

                                              + Z 2 e4 �nlm| r−2 |nlm�]   (2.32)
Первый матричный элемент в (2.32) может быть вычислен по теореме о
                                               Z
вириале (ч.2, задача 23): �nlm| r −1 |nlm� = 2 2 Ea . Второй — с исполь-
                                              n e
зованием явного вида радиальных водородных функций (см. Приложе-
                                                   2Z 2    Ea2
ние). Приведем результат: �nlm| r |nlm� = 3
                                    −2
                                                               . В конечном
                                                n (2l + 1) e4
итоге получаем следующее выражение для поправки к энергии:
                                       �            �
                      (1)    2 Z
                                 4
                                          3     1
                    Enl = αe 3 Ea           −         .               (2.33)
                              2n         4n l + 21

Условием применимости теории возмущений будет (αe Z)2 � 1.
   Как видно из (2.33), релятивистские поправки полностью снимают
кулоновское вырождение уровней — проявляется их “тонкая структу-
ра”. Вырождение по магнитному квантовому числу остается.
   Замечание. Мы не учитывали спин-орбитальное взаимодействие,
порядок величины которого такой же, как и у (2.33). По этой и неко-
торым другим причинам точное релятивистское решение задачи при
Z � α−1e  не переходит в (2.33), и наш расчет носит лишь оценочный
характер.                                                        �


Задачи для самостоятельного решения

11. Для частицы с массой µ, находящейся в бесконечно глубокой прямо-
угольной потенциальной яме ширины a, найти в первом порядке теории
возмущений смещение энергетических уровней под действием возмуще-
ния вида (всюду 0 � x � a):
              V0
   а) V (x) =    (a − |2x − a|);
              �a
                V0 , b � x � a − b;
   б) V (x) =
                 0,     0 < x < b,  a − b < x < a.

                                      26

Страницы