ВУЗ:
Составители:
второго порядка к энергии найдем по формулам (2.6), (2.21) и (2.23),
сохраняя под знаком суммы лишь слагаемые с m
0
= m:
E
(2)
lm
=
X
l
0
6=l
|hl
0
m|V |lmi|
2
E
(0)
l
− E
(0)
l
0
=
2Id
2
E
2
}
2
X
l
0
6=l
[l(l + 1) −l
0
(l
0
+ 1)]
−1
×
×
(
(l + 1)
2
− m
2
(2l + 1)(2l + 3)
δ
2
l
0
,l+1
+ 2δ
l
0
,l+1
δ
l
0
,l−1
s
(l
2
− m
2
)[(l + 1)
2
− m
2
]
(2l − 1)(2l + 1)
2
(2l + 3)
+
+
l
2
− m
2
4l
2
− 1
δ
2
l
0
,l−1
)
=
IE
2
d
2
}
2
(
l(l+1)−3m
2
l(l+1)(2l−1)(2l+1)
при l > 0;
−
1
3
при l = m = 0.
(2.24)
Поправка E
(2)
lm
, как можно видеть из (2.24), будет зависеть не только
от l, но и от m как от параметра (точнее — от m
2
). Это обусловлено
тем, что возмущение (2.20) нарушает сферическую симметрию задачи
и L
2
перестает быть интегралом движения. Вместе с тем осевая сим-
метрия сохраняется; L
z
остается по-прежнему интегралом движения и
поэтому E
(2)
lm
не зависит от знака m. Таким образом, вырождение невоз-
мущенных уровней пространственного ротатора по магнитному кван-
товому числу под действием возмущения (2.20) частично снимается.
Возмущенные уровни также будут вырождены, но с меньшей кратно-
стью 2 − δ
0m
. Поправка E
(2)
lm
∼ E
2
, т.е. эффект Штарка квадратичен.
Для применимости теории возмущений поле E должно быть слабым, а
именно
E
}
2
Id
.
Предлагаем самостоятельно найти поправку первого порядка к волно-
вой функции, а также поляризуемость стационарных состояний рота-
тора.
Пример 2.4. Вычислить в первом порядке теории возмущений ре-
лятивистскую поправку к энергиям стационарных состояний водоро-
доподобного иона с зарядом ядра Z. Массу ядра считать большой по
сравнению с массой электрона µ
e
.
Решение. Данная поправка обусловлена релятивистской взаимосвязью
между классическими энергией и импульсом электрона. Получим вна-
чале оператор возмущения в координатном представлении. Будем ис-
ходить из релятивистского выражения для классической функции Га-
мильтона:
H
rel
(p, r) =
p
p
2
c
2
+ µ
2
e
c
4
− µ
e
c
2
−
Ze
2
r
. (2.25)
24
второго порядка к энергии найдем по формулам (2.6), (2.21) и (2.23),
сохраняя под знаком суммы лишь слагаемые с m� = m:
(2)
� | �l� m| V |lm� |2 2Id2 E 2 �
Elm = = [l(l + 1) − l� (l� + 1)]−1 ×
(0)
El − El�
(0) � 2
l� �=l l� �=l
� �
(l + 1) − m
2 2
(l2 − m2 )[(l + 1)2 − m2 ]
× δl2� ,l+1 + 2δl� ,l+1 δl� ,l−1 +
(2l + 1)(2l + 3) (2l − 1)(2l + 1)2 (2l + 3)
� � l(l+1)−3m2
l 2 − m2 2 IE 2 d2 при l > 0;
+ 2 δl� ,l−1 = l(l+1)(2l−1)(2l+1)
(2.24)
4l − 1 �2 − 1
при l = m = 0.
3
(2)
Поправка Elm , как можно видеть из (2.24), будет зависеть не только
от l, но и от m как от параметра (точнее — от m2 ). Это обусловлено
тем, что возмущение (2.20) нарушает сферическую симметрию задачи
и L2 перестает быть интегралом движения. Вместе с тем осевая сим-
метрия сохраняется; Lz остается по-прежнему интегралом движения и
(2)
поэтому Elm не зависит от знака m. Таким образом, вырождение невоз-
мущенных уровней пространственного ротатора по магнитному кван-
товому числу под действием возмущения (2.20) частично снимается.
Возмущенные уровни также будут вырождены, но с меньшей кратно-
(2)
стью 2 − δ0m . Поправка Elm ∼ E 2 , т.е. эффект Штарка квадратичен.
Для применимости теории возмущений поле E должно быть слабым, а
именно
�2
E� .
Id
Предлагаем самостоятельно найти поправку первого порядка к волно-
вой функции, а также поляризуемость стационарных состояний рота-
тора. �
Пример 2.4. Вычислить в первом порядке теории возмущений ре-
лятивистскую поправку к энергиям стационарных состояний водоро-
доподобного иона с зарядом ядра Z. Массу ядра считать большой по
сравнению с массой электрона µe .
Решение. Данная поправка обусловлена релятивистской взаимосвязью
между классическими энергией и импульсом электрона. Получим вна-
чале оператор возмущения в координатном представлении. Будем ис-
ходить из релятивистского выражения для классической функции Га-
мильтона:
� Ze2
Hrel (p, r) = p2 c2 + µ2e c4 − µe c2 − . (2.25)
r
24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
