Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Итак, в первом неисчезающем порядке теории возмущений
E
(TB)
n
= }ω
n +
1
2
−
e
2
E
2
2µω
2
; (2.17)
Ψ
(TB)
n
(x) = Ψ
(0)
n
+
eEx
0
}ω
√
2
[
√
n + 1 Ψ
(0)
n+1
(x) −
√
n Ψ
(0)
n−1
(x)]. (2.18)
Для применимости ТВ поле E должно быть достаточно слабым. Из
(2.9) и (2.14) следует, что
E
}ω
ex
0
.
Данная задача имеет и точное решение. Предлагаем читателю само-
стоятельно сопоставить приближенное решение (2.17), (2.18) с точным
1
.
Пусть теперь невозмущенное значение энергии E
(0)
n
вырождено с
кратностью g
n
, т.е.
ˆ
H
0
Ψ
(0)
nk
= E
(0)
n
Ψ
(0)
nk
,
где k = 1, . . . , g
n
, а оператор возмущения в энергетическом представле-
нии диагонален по k, т.е.
hn
0
k
0
|V |nki = B
k,n
0
n
δ
k
0
k
(2.19)
Физически это означает, что интеграл движения, обусловливающий
кратность вырождения в невозмущенной задаче, после наложения воз-
мущения по-прежнему остается интегралом движения. В данном слу-
чае при k 6= k
0
, n = n
0
числители спектральных сумм в (2.6) вместе
со знаменателями обращаются в 0, т.е. появляется неопределенность
0
0
. Если такие слагаемые положить равными нулю, то при выполнении
условия (2.19) можно по-прежнему пользоваться теорией возмущений
для невырожденных уровней, рассматривая квантовое число k как па-
раметр. Другими словами, задачу нужно решать независимо для каж-
дого фиксированного значения k, пользуясь теорией возмущений для
невырожденных уровней.
Пример 2.3. Эффект Штарка для пространственного рота-
тора. Определить в первом неисчезающем порядке ТВ сдвиги энергий
1
Разложить точную волновую функцию (2.13) в ряд Тейлора по степеням E . При
дифференцировании полиномов Эрмита использовать свойство
dH
n
(ξ)
dξ
= 2nH
n−1
(ξ).
22
   Итак, в первом неисчезающем порядке теории возмущений
                �        �
                       1     e2 E 2
     (TB)
    En     = �ω n +        −        ;                                  (2.17)
                       2     2µω 2
                         eEx0 √                  √
    Ψ(TB)
     n    (x) = Ψ (0)
                  n   +     √ [ n + 1 Ψ(0)
                                       n+1 (x) −
                                                      (0)
                                                   n Ψn−1 (x)].        (2.18)
                         �ω 2
    Для применимости ТВ поле E должно быть достаточно слабым. Из
(2.9) и (2.14) следует, что
                                 �ω
                            E�       .
                                 ex0
   Данная задача имеет и точное решение. Предлагаем читателю само-
стоятельно сопоставить приближенное решение (2.17), (2.18) с точным 1 .
�
                                                           (0)
   Пусть теперь невозмущенное значение энергии En                вырождено с
кратностью gn , т.е.
                            (0)         (0)
                       Ĥ0 Ψnk = En(0) Ψnk ,
где k = 1, . . . , gn , а оператор возмущения в энергетическом представле-
нии диагонален по k, т.е.

                        �n� k � | V |nk� = Bk,n� n δk� k               (2.19)

Физически это означает, что интеграл движения, обусловливающий
кратность вырождения в невозмущенной задаче, после наложения воз-
мущения по-прежнему остается интегралом движения. В данном слу-
чае при k �= k � , n = n� числители спектральных сумм в (2.6) вместе
со знаменателями обращаются в 0, т.е. появляется неопределенность
0 . Если такие слагаемые положить равными нулю, то при выполнении
0

условия (2.19) можно по-прежнему пользоваться теорией возмущений
для невырожденных уровней, рассматривая квантовое число k как па-
раметр. Другими словами, задачу нужно решать независимо для каж-
дого фиксированного значения k, пользуясь теорией возмущений для
невырожденных уровней.
Пример 2.3. Эффект Штарка для пространственного рота-
тора. Определить в первом неисчезающем порядке ТВ сдвиги энергий
  1 Разложить
            точную волновую функцию (2.13) в ряд Тейлора по степеням E. При
дифференцировании полиномов Эрмита использовать свойство
                            dHn (ξ)
                                    = 2nHn−1 (ξ).
                              dξ




                                      22

Страницы