Задачи по квантовой механике. Ч. 3. Копытин И.В - 20 стр.

UptoLike

Составители: 

Ψ
(0)
n
(x) = [x
0
n!2
n
π]
1/2
H
n
(ξ) e
ξ
2
/2
, (2.13)
где x
0
=
p
}/(µω); ξ = x/x
0
; H
n
(ξ) — полином Эрмита; n = 0, 1, . . .
Вначале найдем поправку к энергии в первом порядке ТВ. Для этого
перейдем к энергетическому представлению оператора (2.10) по базису
“невозмущенного” осциллятора (2.13) и вычислим, согласно (2.5), его
диагональные матричные элементы:
E
(1)
n
= V
nn
hn|V |ni =
1
2
αω
2
hn|x
2
|ni =
1
2
αω
2
x
2
0
n +
1
2
(см. ч.2, задача 35, либо воспользоваться теоремой о вириале).
E
(1)
n
6= 0, и поэтому более высокие порядки мы не исследуем. По-
правки к волновой функции в данном случае не требуются. Таким об-
разом,
E
(TB)
n
= E
(0)
n
+ E
(1)
n
= }ω
1 +
α
2µ
n +
1
2
;
Ψ
(TB)
n
(x) = Ψ
(0)
n
(x); n = 0, 1, . . .
Согласно (2.9), условием применимости ТВ будет |α| µ. Предлагаем
читателю самостоятельно сопоставить полученное приближенное реше-
ние с точным.
Сдвиг энергетических уровней заряженной частицы под действием
внешнего электрического поля принято называть эффектом Штарка,
а для внешнего магнитного поля эффектом Зеемана.
Пример 2.2. Эффект Штарка для линейного гармоническо-
го осциллятора. Определить в первом неисчезающем порядке ТВ
сдвиг энергии и изменение волновой функции стационарного состоя-
ния осциллятора с частотой ω, массой µ и зарядом e, помещенного в
однородное электрическое поле напряженности E, направленное вдоль
оси Ox. Указать условие применимости ТВ.
Решение. Оператор возмущения определяется потенциальной энергией
частицы в однородном электрическом поле:
ˆ
V = eEx.
Энергия невозмущенного n-го стационарного состояния и соответству-
ющая ей волновая функция даются соответственно выражениями (2.12)
и (2.13). Найдем энергетическое представление оператора
ˆ
V :
V
mn
= eE hm|x |ni = eEx
0
r
n
2
δ
m,n1
+
r
n + 1
2
δ
m,n+1
!
, (2.14)
20
                                  √ −1/2           2
                Ψ(0)
                 n (x) = [x0 n!2
                                n
                                   π]    Hn (ξ) e−ξ /2 ,      (2.13)
          �
где x0 = �/(µω); ξ = x/x0 ; Hn (ξ) — полином Эрмита; n = 0, 1, . . .
   Вначале найдем поправку к энергии в первом порядке ТВ. Для этого
перейдем к энергетическому представлению оператора (2.10) по базису
“невозмущенного” осциллятора (2.13) и вычислим, согласно (2.5), его
диагональные матричные элементы:
                                                      �      �
                             1                1            1
      En = Vnn ≡ �n| V |n� = αω �n| x |n� = αω x0 n +
        (1)                        2    2         2 2
                             2                2            2
(см. ч.2, задача 35, либо воспользоваться теоремой о вириале).
     (1)
   En �= 0, и поэтому более высокие порядки мы не исследуем. По-
правки к волновой функции в данном случае не требуются. Таким об-
разом,
                                      �        ��      �
                                            α        1
              En(TB)
                     = En + En = �ω 1 +
                        (0)    (1)
                                                 n+      ;
                                            2µ       2
            Ψ(TB)
             n    (x) = Ψ(0)
                         n (x);        n = 0, 1, . . .
Согласно (2.9), условием применимости ТВ будет |α| � µ. Предлагаем
читателю самостоятельно сопоставить полученное приближенное реше-
ние с точным.                                                    �
   Сдвиг энергетических уровней заряженной частицы под действием
внешнего электрического поля принято называть эффектом Штарка,
а для внешнего магнитного поля — эффектом Зеемана.
Пример 2.2. Эффект Штарка для линейного гармоническо-
го осциллятора. Определить в первом неисчезающем порядке ТВ
сдвиг энергии и изменение волновой функции стационарного состоя-
ния осциллятора с частотой ω, массой µ и зарядом e, помещенного в
однородное электрическое поле напряженности E, направленное вдоль
оси Ox. Указать условие применимости ТВ.
Решение. Оператор возмущения определяется потенциальной энергией
частицы в однородном электрическом поле:
                              V̂ = −eEx.
Энергия невозмущенного n-го стационарного состояния и соответству-
ющая ей волновая функция даются соответственно выражениями (2.12)
и (2.13). Найдем энергетическое представление оператора V̂ :
                              ��             �             �
                                  n            n+1
  Vmn = −eE �m| x |n� = −eEx0       δm,n−1 +        δm,n+1 , (2.14)
                                  2             2


                                  20